Упр.1.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.15. Докажите, что: а) сумма всех коэффициентов при четных степенях многочлена f(x), записанного в стандартном виде, равна 0,5(f1) +f(-1)); б) сумма всех коэффициентов при нечетных степенях многочлена f(x), записанного в стандартном виде, равна 0,5(f(1) — f(-1)).

Пусть

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.$$

Сумма коэффициентов при чётных степенях многочлена равна

$$S_{\text{чёт}}=a_n+a_{n-2}+a_{n-4}+\dots,$$

а сумма коэффициентов при нечётных степенях равна

$$S_{\text{неч}}=a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-5}+\dots.$$

Рассмотрим значения многочлена при $$x=1$$ и $$x=-1$$.

Если $$n$$ чётное, то

$$f(1)=a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0,$$

$$f(-1)=a_n-a_{n-1}+\dots-a_1+a_0.$$

Тогда

$$ \frac{f(1)+f(-1)}{2} =\frac{(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)+(a_n-a_{n-1}+\dots-a_1+a_0)}{2} $$

$$ =\frac{2a_n+2a_{n-2}+\dots+2a_0}{2} =a_n+a_{n-2}+\dots+a_0. $$

Значит,

$$S_{\text{чёт}}=\frac{f(1)+f(-1)}{2}.$$

Если $$n$$ нечётное, то

$$f(1)=a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0,$$

$$f(-1)=-a_n+a_{n-1}-\dots-a_1+a_0.$$

Тогда

$$ \frac{f(1)+f(-1)}{2} =\frac{(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)+(-a_n+a_{n-1}-\dots-a_1+a_0)}{2} $$

$$ =\frac{2a_{n-1}+2a_{n-3}+\dots+2a_0}{2} =a_{n-1}+a_{n-3}+\dots+a_0. $$

И в этом случае

$$S_{\text{чёт}}=\frac{f(1)+f(-1)}{2}.$$

Аналогично для суммы коэффициентов при нечётных степенях:

Если $$n$$ чётное, то

$$ \frac{f(1)-f(-1)}{2} =\frac{(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)-(a_n-a_{n-1}+\dots-a_1+a_0)}{2} $$

$$ =\frac{2a_{n-1}+2a_{n-3}+\dots+2a_1}{2} =a_{n-1}+a_{n-3}+\dots+a_1. $$

Если $$n$$ нечётное, то

$$ \frac{f(1)-f(-1)}{2} =\frac{(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)-(-a_n+a_{n-1}-\dots-a_1+a_0)}{2} $$

$$ =\frac{2a_n+2a_{n-2}+\dots+2a_1}{2} =a_n+a_{n-2}+\dots+a_1. $$

Следовательно,

$$S_{\text{неч}}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}.$$

Ответ

$$S_{\text{чёт}}=\frac{f(1)+f(-1)}{2}, \qquad S_{\text{неч}}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}.$$