Упр.1.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.13. Определите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена р(х): а) р(х) = (Зх2 — х + 1)17 + (х3 + 5х + 1)11; б) р(х) = (х6 — 2х + 64)3 — (х9 + х8 — 512)2; в) р(x) = (81×4 — 36х2 + 4)5 — (9×2 — 2)10 + (х — 1)13; г) р(х) = (х2 — X + 1)(х2 + х + 1)(х4 — x2 + 1)(x8 — х4 — 1) + (x- 1)16.
а) $$p(x)=(3x^2-x+1)^{17}+(x^3+5x+1)^{11}$$
Наибольшая степень первого слагаемого:
$$ (3x^2)^{17}=3^{17}x^{34} $$
Наибольшая степень второго слагаемого:
$$ (x^3)^{11}=x^{33} $$
Следовательно, степень многочлена равна $$34$$, старший коэффициент равен $$3^{17}$$.
Свободный член:
$$1^{17}+1^{11}=2$$
б) $$p(x)=(x^6-2x+64)^3-(x^9+x^8-512)^2$$
Наибольшая степень первого слагаемого:
$$ (x^6)^3=x^{18} $$
Наибольшая степень второго слагаемого:
$$ (x^9)^2=x^{18} $$
Старшие члены взаимно уничтожаются, поэтому нужно сравнить следующие по степени члены.
Из первого слагаемого получаем член $$3x^{12}\cdot(-2x)=-6x^{13}$$, а из второго — член $$2x^9\cdot x^8=2x^{17}$$, значит после вычитания старший член будет $$-2x^{17}$$.
Следовательно, степень многочлена равна $$17$$, старший коэффициент равен $$-2$$.
Свободный член:
$$64^3-512^2=0$$
в) $$p(x)=(81x^4-36x^2+4)^5-(9x^2-2)^{10}+(x-1)^{13}$$
Заметим, что
$$81x^4-36x^2+4=(9x^2-2)^2.$$
Тогда
$$p(x)=(9x^2-2)^{10}-(9x^2-2)^{10}+(x-1)^{13}=(x-1)^{13}.$$
Значит, степень многочлена равна $$13$$, старший коэффициент равен $$1$$.
Свободный член:
$$(-1)^{13}=-1$$
г) $$p(x)=(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^4-x^2+1)(x^8-x^4-1)+(x-1)^{16}$$
Сначала перемножим первые два множителя:
$$ (x^2-x+1)(x^2+x+1)=(x^2+1)^2-x^2=x^4+x^2+1. $$
Тогда
$$ (x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^4+1)^2-x^4=x^8+x^4+1. $$
Теперь
$$ (x^8+x^4+1)(x^8-x^4-1)=x^{16}-x^8-x^4+x^8-x^4-1? $$
Удобнее заметить, что
$$ (x^8+x^4+1)(x^8-x^4-1)=x^{16}-x^8-x^4+x^8-x^4-1=x^{16}-2x^4-1, $$
поэтому старший член этого произведения равен $$x^{16}$$.
Прибавляем $$ (x-1)^{16} $$, у которого старший член тоже $$x^{16}$$.
Следовательно, степень многочлена равна $$16$$, старший коэффициент равен $$2$$.
Свободный член:
$$1\cdot 1\cdot 1\cdot(-1)+(-1)^{16}=0$$
Ответ
а) степень $$34$$, старший коэффициент $$3^{17}$$, свободный член $$2$$;
б) степень $$17$$, старший коэффициент $$-2$$, свободный член $$0$$;
в) степень $$13$$, старший коэффициент $$1$$, свободный член $$-1$$;
г) степень $$16$$, старший коэффициент $$2$$, свободный член $$0$$.
