Ответы на вопросы Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
2. Какую последовательность называют возрастающей; убывающей?
3. Сформулируйте определение ограниченности последовательности сверху (снизу).
4. Приведите примеры последовательностей, которые ограничены только сверху (только снизу).
5. Может ли возрастающая последовательность быть не ограниченной сверху, а убывающая — не ограниченной снизу? Если да, то приведите примеры.
6. Какой числовой промежуток называют окрестностью точки a радиусом r?
7. Дайте определение предела последовательности; сходящейся последовательности.
8. При каких значениях знаменателя q сходится бесконечная геометрическая прогрессия?
9. Верно ли, что из сходимости последовательности следует её ограниченность? Верно ли обратное, т. е. что из ограниченности последовательности следует её сходимость?
10. Какая связь имеется между пределом функции при бесконечности и наличием у неё горизонтальной асимптоты?
11. Сформулируйте теоремы об арифметических операциях над пределами последовательностей, функций.
12. Что называют приращением аргумента x при переходе от x_0 к x_1?
13. Что называют приращением функции y = f(x) при переходе аргумента от x_0 к x_1?
14. Сформулируйте определение функции, непрерывной в точке x = a:
— «на языке пределов»;
— «на языке приращений».
Числовой последовательностью называют функцию натурального аргумента, то есть функцию вида $$y=f(n), \quad n \in \mathbb{N}.$$
Последовательность $$\{y_n\}$$ называют возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего:
$$y_1<y_2<y_3<\dots<y_n<y_{n+1}<\dots$$
Последовательность $$\{y_n\}$$ называют убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего:
$$y_1>y_2>y_3>\dots>y_n>y_{n+1}>\dots$$
Последовательность $$\{y_n\}$$ называется ограниченной сверху, если существует число $$M$$ такое, что для любого $$n$$ выполняется неравенство $$y_n \le M$$. Число $$M$$ называют верхней границей последовательности.
Последовательность $$\{y_n\}$$ называется ограниченной снизу, если существует число $$m$$ такое, что для любого $$n$$ выполняется неравенство $$y_n \ge m$$. Число $$m$$ называют нижней границей последовательности.
Примеры последовательностей:
ограничена только сверху: $$y_n=-n,\quad y_n=-n^5;$$
ограничена только снизу: $$y_n=n+1,\quad y_n=\sqrt{n}.$$
Да, может.
Примеры:
возрастает и не ограничена сверху: $$y_n=2^{n+1};$$
убывает и не ограничена снизу: $$y_n=18-n^2.$$
Окрестностью точки $$a$$ радиусом $$r$$ называют числовой промежуток $$\left(a-r;\,a+r\right).$$
Число $$b$$ называют пределом последовательности $$\{x_n\}$$, если в любой окрестности точки $$b$$ содержатся все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера.
Если последовательность имеет предел, то её называют сходящейся; если не имеет предела — расходящейся.
Бесконечная геометрическая прогрессия сходится при $$|q|<1.$$ В этом случае
$$\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} b_1q^{\,n-1}=0.$$
Да, из сходимости последовательности следует её ограниченность.
Обратное неверно: ограниченная последовательность может не иметь предела, например $$y_n=\sin n$$ или $$y_n=(-1)^n.$$
Если существует предел функции при $$x\to +\infty$$ или $$x\to -\infty$$, то соответствующая горизонтальная асимптота имеет вид
$$y=\lim_{x\to +\infty} f(x) \quad \text{или} \quad y=\lim_{x\to -\infty} f(x).$$
Если $$\lim_{n\to\infty} x_n=b$$ и $$\lim_{n\to\infty} y_n=c,$$ то
$$\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=b+c,$$
$$\lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=bc,$$
$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{b}{c}\quad (c\ne 0),$$
$$\lim_{n\to\infty}(k x_n)=kb.$$
Если $$\lim_{x\to\infty} f(x)=b$$ и $$\lim_{x\to\infty} g(x)=c,$$ то
$$\lim_{x\to\infty}(f(x)+g(x))=b+c,$$
$$\lim_{x\to\infty}(f(x)g(x))=bc,$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{b}{c}\quad (c\ne 0),$$
$$\lim_{x\to\infty}(k f(x))=kb.$$
Пусть функция $$y=f(x)$$ определена в точках $$x_0$$ и $$x_1.$$ Разность $$x_1-x_0$$ называют приращением аргумента при переходе от $$x_0$$ к $$x_1.$$
Разность $$f(x_1)-f(x_0)$$ называют приращением функции при переходе аргумента от $$x_0$$ к $$x_1.$$
Функция $$y=f(x)$$ непрерывна в точке $$x=a,$$ если
$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a).$$
Эквивалентно, при $$\Delta x\to 0$$ приращение функции стремится к нулю:
$$\Delta y\to 0 \quad \text{при} \quad \Delta x\to 0.$$
Ответ
1) Числовая последовательность — функция натурального аргумента. 2) Возрастающая: каждый следующий член больше предыдущего; убывающая: каждый следующий член меньше предыдущего. 3) Ограниченность сверху/снизу определяется существованием верхней/нижней границы. 4) Примеры: $$-n,\,-n^5$$; $$n+1,\,\sqrt n$$. 5) Да, может: $$2^{n+1}$$ и $$18-n^2$$. 6) $$\left(a-r;\,a+r\right)$$. 7) Предел последовательности — число, к которому стремятся её члены; сходящаяся последовательность имеет предел. 8) При $$|q|<1$$. 9) Да; нет. 10) Предел при бесконечности равен ординате горизонтальной асимптоты. 11) Сумма, произведение, частное и постоянный множитель переходят к пределам по обычным правилам. 12) $$x_1-x_0$$. 13) $$f(x_1)-f(x_0)$$. 14) $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$, или $$\Delta y\to 0$$ при $$\Delta x\to 0$$.
