Ответы на вопросы Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

2. Объясните, почему функция w = -iz задаёт поворот вокруг начала координат.
3. Объясните, почему функция w = -2iz + 3 задаёт отображение подобия комплексной плоскости.
4. Почему комплексное число и обратное к нему комплексное число лежат по разные стороны от оси Ox?
5. Сколько различных значений принимают члены геометрической прогрессии i, i^2, i^3, i^4, …?
6. Сколько членов геометрической прогрессии 1, 3i, (3i)^2, (3i)^3, … лежат в круге радиусом 2021 с центром в начале координат?
7. Объясните, почему множество 1^(1/n) симметрично относительно оси Ox.
8. Запишите формулу для нахождения корней n-й степени из комплексного числа.
9. Приведите геометрическое обоснование неравенства sin x < x для 0 < x < 1. 10. Постройте графики y = e^x и y = 1 + x и геометрически обоснуйте неравенство e^x > 1 + x при x ? 1.
11. В правой части разложения cos x = 1 — x^2/2! + x^4/4! — x^6/6! + x^8/8! — … допишите слагаемые, содержащие x^10 и x^12.
12. В правой части разложения sin x = x — x^3/3! + x^5/5! — x^7/7! + x^9/9! — … допишите слагаемые, содержащие x^11 и x^13.
13. Запишите формулу Эйлера для e^(iy), y ? R.
14. Как cos y и sin y можно выразить через e^(iy) и e^(-iy)?
15. Сформулируйте определения cos z и sin z для z ? C.
16. Докажите основное тригонометрическое тождество для комплексных чисел.

1. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются:
   $$z_1=r_1(\cos \alpha+i\sin \alpha),\quad z_2=r_2(\cos \beta+i\sin \beta)$$
   $$z_1z_2=r_1r_2\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr).$$
   При делении модули делятся, а аргументы вычитаются:
   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\bigr),\quad z_2\ne 0.$$
2. Функция $$w=-iz$$ означает умножение модуля числа на $$1$$ и прибавление к аргументу угла $$-\frac{\pi}{2}$$, то есть поворот вокруг начала координат на $$-\frac{\pi}{2}$$, или на $$270^\circ$$.
3. Функция $$w=-2iz+3$$ задаёт композицию преобразований: умножение модуля на $$2$$, поворот на $$-\frac{\pi}{2}$$ и параллельный перенос на $$3$$. Такие преобразования являются подобиями, значит, это отображение подобия комплексной плоскости.
4. Для обратных чисел $$z$$ и $$\frac{1}{z}$$ выполняется
   $$z\cdot \frac{1}{z}=1,$$
   поэтому их аргументы противоположны:
   $$\arg \frac{1}{z}=-\arg z.$$
   Следовательно, точки $$z$$ и $$\frac{1}{z}$$ лежат по разные стороны от оси $$Ox$$.
5. Члены прогрессии:
   $$i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,$$
   далее значения повторяются с периодом $$4$$. Значит, различных значений всего $$4$$.
6. $$b_n=(3i)^n=3^n\left(\cos \frac{\pi n}{2}+i\sin \frac{\pi n}{2}\right),\quad |b_n|=3^n.$$
   Нужно, чтобы
   $$3^n<2021.$$ Так как $$3^6=729<2021,\quad 3^7=2187>2021,$$
   то подходят $$n=0,1,2,3,4,5,6$$. Всего $$7$$ членов.
7. Множество корней $$n$$-й степени из числа $$1$$ состоит из вершин правильного $$n$$-угольника, вписанного в единичную окружность. Эти точки симметричны относительно оси $$Ox$$, так как вместе с корнем $$x+iy$$ существует сопряжённый корень $$x-iy$$.
8. Если $$z\ne 0$$ и $$z=|z|(\cos \alpha+i\sin \alpha),$$ то все корни уравнения $$w^n=z$$ имеют вид
   $$w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos \frac{\alpha+2\pi k}{n}+i\sin \frac{\alpha+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,1,2,\ldots,n-1.$$
9. Для $$0
10. Графики функций $$y=e^x$$ и $$y=1+x$$ пересекаются в точке $$x=0$$:
    $$e^0=1,\quad 1+0=1.$$
    Кроме того,
    $$\bigl(e^x\bigr)’=e^x,\quad (1+x)’=1.$$
    При $$x<0$$ имеем $$e^x<1$$, а при $$x>0$$ — $$e^x>1$$, поэтому график экспоненты расположен выше прямой $$y=1+x$$ при всех $$x\ne 0$$:
    $$e^x>1+x,\quad x\ne 0.$$
11. В разложении косинуса:
    $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+\frac{x^{12}}{12!}-\cdots.$$
12. В разложении синуса:
    $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\frac{x^{13}}{13!}-\cdots.$$
13. Формула Эйлера:
    $$e^{iy}=\cos y+i\sin y,\quad y\in \mathbb{R}.$$
14. Из формулы Эйлера и формулы для $$e^{-iy}$$ получаем:
    $$\cos y=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2},\qquad \sin y=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}.$$
15. Для комплексного числа $$z$$:
    $$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\qquad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$$
16. Докажем тождество:
    $$\sin^2 z+\cos^2 z=\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)^2+\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^2.$$
    Тогда
    $$ \sin^2 z+\cos^2 z= \frac{e^{2iz}-2+e^{-2iz}}{-4}+\frac{e^{2iz}+2+e^{-2iz}}{4} =\frac{4}{4}=1. $$

Ответ

1) $$|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\ \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2;\quad \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\ \arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2.$$
2) Поворот на $$270^\circ$$ вокруг начала координат.
3) Отображение подобия.
4) Их аргументы противоположны, поэтому точки лежат по разные стороны от оси $$Ox$$.
5) $$4$$.
6) $$7$$.
7) Симметрично относительно оси $$Ox$$.
8) $$w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos \frac{\alpha+2\pi k}{n}+i\sin \frac{\alpha+2\pi k}{n}\right),\ k=0,1,\ldots,n-1.$$
9) $$\sin x 10) $$e^x>1+x,\ x\ne 0.$$
11) $$-\dfrac{x^{10}}{10!}+\dfrac{x^{12}}{12!}.$$
12) $$-\dfrac{x^{11}}{11!}+\dfrac{x^{13}}{13!}.$$
13) $$e^{iy}=\cos y+i\sin y.$$
14) $$\cos y=\dfrac{e^{iy}+e^{-iy}}{2},\ \sin y=\dfrac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}.$$
15) $$\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\ \sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$$
16) $$\sin^2 z+\cos^2 z=1.$$