Ответы на вопросы Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Сформулируйте правило подсчёта вероятностей для выбора точки из числового множества.
Сформулируйте правило подсчёта вероятностей для выбора точки из плоской фигуры.
Приведите пример события, которое возможно, но его вероятность равна нулю.
Приведите пример события, вероятность которого равна 1, но которое не достоверно.
Опишите физическую модель равномерного распределения вероятности.
Опишите свойства функции плотности непрерывной случайной величины.
Как по графику функции плотности определить вероятность попадания значения непрерывной с. в. в отрезок $$[c; d]$$?
Нарисуйте эскиз гауссовой кривой (кривой плотности стандартного нормального распределения).
Опишите свойства гауссовой функции.
Нарисуйте эскиз кривых плотности нормальных распределений $$N(0; 2)$$, $$N(1; 2)$$, $$N(-2; 1)$$.
Приведите формулу Бернулли для подсчёта вероятностей числа «успехов».
По какой причине приходится использовать приближённые вычисления при подсчётах по формуле Бернулли?
Приведите несколько примеров данных, распределение которых может быть приближено кривой нормального распределения.
Опишите, как устроена доска Гальтона. Что она демонстрирует?
Вероятность какого события обозначается $$P_n(a ? k ? b)$$?
Запишите формулу, выражающую $$P_n(a ? k ? b)$$ через функцию Лапласа $$y = ?(x)$$.
К какому числу приближаются значения $$?(x)$$ при неограниченном возрастании $$x$$?
Объясните, почему функция Лапласа является возрастающей.
В чём состоит явление статистической устойчивости?
Сформулируйте закон больших чисел в форме Бернулли.
Чему равны математическое ожидание и дисперсия числа «успехов» в $$n$$ испытаниях Бернулли?
Запишите неравенство Чебышёва для произвольной случайной величины.

Подробный ответ

При равномерном распределении вероятность попадания точки в подмножество равна отношению меры этого подмножества к мере всего множества: для числовых множеств — длин, для плоских фигур — площадей.
Событие с вероятностью $$0$$ может быть возможным, например попадание случайно выбранной точки на границу отрезка.
Событие с вероятностью $$1$$, но не достоверное, например: случайно выбранная точка внутри круга не попадёт на окружность.
Физическая модель равномерного распределения: масса распределена по области равномерно, поэтому вероятность пропорциональна длине или площади.
Для функции плотности непрерывной случайной величины $$p(x)$$ выполняется $$p(x)\ge 0$$ и $$\int_{-\infty}^{+\infty} p(x)\,dx=1.$$
Вероятность попадания значения $$T$$ в отрезок $$[c;d]$$ равна площади под графиком плотности на этом промежутке:
$$P(c\le T\le d)=\int_c^d p(x)\,dx.$$
Гауссова кривая — колоколообразный симметричный график с максимумом в центре и асимптотой $$y=0$$ при $$x\to\pm\infty$$.
Гауссова функция симметрична относительно прямой $$x=\alpha$$, имеет максимум при $$x=\alpha$$ и стремится к нулю при $$x\to\pm\infty$$.
Для нормального распределения $$N(\alpha;\sigma)$$ кривая сдвигается вправо или влево при изменении $$\alpha$$, а при увеличении $$\sigma$$ становится более широкой и менее высокой.
Формула Бернулли:
$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},\qquad q=1-p.$$
При больших $$n$$ прямое вычисление по формуле Бернулли затруднено из-за больших степеней и факториалов.
Нормальным распределением можно приближать, например, число мальчиков среди 100 новорождённых, число бракованных деталей в большой партии и другие суммы большого числа независимых случайных факторов.
Доска Гальтона показывает, как при большом числе независимых испытаний возникает распределение, близкое к нормальному.
Событие $$P_n(a\le k\le b)$$ означает, что число успехов $$k$$ в $$n$$ испытаниях Бернулли лежит между $$a$$ и $$b$$ включительно.
Через функцию Лапласа:
$$P_n(a\le k\le b)\approx \Phi\!\left(\frac{b-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-np}{\sqrt{npq}}\right).$$
При неограниченном возрастании $$x$$ значения функции Лапласа стремятся к $$0{,}5$$.
Функция Лапласа возрастает, так как она выражается через интеграл от неотрицательной функции плотности.
Статистическая устойчивость состоит в том, что при большом числе испытаний относительная частота события колеблется около его вероятности.
Закон больших чисел в форме Бернулли: при неограниченном увеличении числа испытаний частота успеха практически совпадает с вероятностью успеха в одном испытании.
Для числа успехов $$X$$ в $$n$$ испытаниях Бернулли:
$$M(X)=np,\qquad D(X)=npq,\qquad q=1-p.$$
Неравенство Чебышёва:
$$P\bigl(|S-M(S)|\le t\bigr)\ge 1-\frac{D(S)}{t^2}.$$

Ответ

1) $$P(Y)=\dfrac{l(Y)}{l(X)}.$$ 2) $$P(Y)=\dfrac{S(Y)}{S(X)}.$$ 3) Например, попадание точки на границу отрезка. 4) Например, попадание точки внутри круга не на окружность. 5) Вероятность пропорциональна длине или площади. 6) $$p(x)\ge 0,\ \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\,dx=1.$$ 7) $$P(c\le T\le d)=\int_c^d p(x)\,dx.$$ 8) Колоколообразная симметричная кривая. 9) Симметрия относительно $$x=\alpha$$, максимум при $$x=\alpha$$, асимптота $$y=0$$. 10) Кривые нормального распределения с разными центрами и разбросом. 11) $$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$ 12) Из-за больших факториалов и степеней. 13) Примеры: число мальчиков среди 100 новорождённых; число бракованных деталей в большой партии. 14) Доска Гальтона демонстрирует нормальное распределение. 15) Событие, что число успехов лежит между $$a$$ и $$b$$. 16) $$P_n(a\le k\le b)\approx \Phi\!\left(\dfrac{b-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi\!\left(\dfrac{a-np}{\sqrt{npq}}\right).$$ 17) К $$0{,}5$$. 18) Потому что это интеграл от неотрицательной функции. 19) При большом числе испытаний частота близка к вероятности. 20) При $$n\to\infty$$ частота успеха стремится к $$p$$. 21) $$M(X)=np,\ D(X)=npq.$$ 22) $$P\bigl(|S-M(S)|\le t\bigr)\ge 1-\dfrac{D(S)}{t^2}.$$