Ответы на вопросы Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
2. Сформулируйте правило нахождения первообразной суммы двух функций.
3. Приведите пример того, что первообразная произведения двух функций не равна произведению их первообразных.
4. Можно ли постоянный множитель выносить за знак первообразной?
5. Если функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то как найти первообразную для функции y = f(kx + m)?
6. Что называют неопределённым интегралом от функции y = f(x)?
7. В чём состоит физический смысл определённого интеграла?
8. В чём состоит геометрический смысл определённого интеграла?
9. Запишите формулу Ньютона — Лейбница.
10. Чему равен определённый интеграл от линейной комбинации функций (линейная комбинация функций — это функция вида y = af(x) + bg(x) + ch(x), где a, b, c — произвольные числовые коэффициенты)?
11. В чём состоит аддитивное свойство определённого интеграла?
12. Какую плоскую фигуру называют криволинейной трапецией?
13. Как с помощью определённого интеграла вычислить площадь криволинейной трапеции в декартовой прямоугольной системе координат xOy?
Функцию $$y=F(x)$$ называют первообразной для функции $$y=f(x)$$ на промежутке $$X$$, если для всех $$x \in X$$ выполняется равенство $$F'(x)=f(x)$$. Все первообразные имеют вид $$y=F(x)+C$$, где $$C$$ — произвольная постоянная.
Если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, а $$H(x)$$ — первообразная для $$h(x)$$, то $$F(x)+H(x)$$ является первообразной для суммы функций $$f(x)+h(x)$$.
Например, если $$f(x)=x$$ и $$h(x)=x^2$$, то их первообразные можно взять в виде $$F(x)=\frac{x^2}{2}$$ и $$H(x)=\frac{x^3}{3}$$. Тогда первообразная для произведения $$f(x)h(x)=x^3$$ равна $$G(x)=\frac{x^4}{4}$$, а $$F(x)\cdot H(x)=\frac{x^5}{6}$$. Значит, первообразная произведения функций не равна произведению их первообразных.
Да, можно. Если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, то $$kF(x)$$ — первообразная для $$kf(x)$$.
Если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, то для функции $$f(kx+m)$$ первообразной будет
$$\frac{1}{k}F(kx+m).$$
Неопределённым интегралом от функции $$y=f(x)$$ называют множество всех её первообразных:
$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$
Физический смысл определённого интеграла: если $$v=v(t)$$ — скорость движения, то перемещение тела за промежуток времени от $$t=a$$ до $$t=b$$ равно
$$s=\int_a^b v(t)\,dt.$$
Геометрический смысл определённого интеграла: если $$f(x)\ge 0$$ на $$[a;b]$$, то определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком $$y=f(x)$$, осью $$Ox$$ и прямыми $$x=a$$, $$x=b$$:
$$S=\int_a^b f(x)\,dx.$$
Формула Ньютона — Лейбница:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),$$
где $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.
Для линейной комбинации функций верно:
$$\int_{x_1}^{x_2}\bigl(af(x)+bg(x)+ch(x)\bigr)\,dx=a\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx+b\int_{x_1}^{x_2}g(x)\,dx+c\int_{x_1}^{x_2}h(x)\,dx.$$
Аддитивное свойство определённого интеграла состоит в том, что при $$a
$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.$$
Криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, ограниченную непрерывной на отрезке $$[a;b]$$ функцией $$y=f(x)$$, прямыми $$y=0$$, $$x=a$$ и $$x=b$$, где $$b>a$$.
Если криволинейная трапеция ограничена графиками $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$, причём $$f(x)\ge g(x)$$ на $$[a;b]$$, и прямыми $$x=a$$, $$x=b$$, то её площадь равна
$$S=\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$
Ответ
1) $$F'(x)=f(x)$$; все первообразные имеют вид $$F(x)+C$$. 2) Первообразная суммы равна сумме первообразных. 3) Например, $$f(x)=x$$, $$h(x)=x^2$$: $$\int x^3dx=\frac{x^4}{4}$$, а $$\frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^3}{3}\ne\frac{x^4}{4}$$. 4) Да. 5) $$\frac{1}{k}F(kx+m)$$. 6) $$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$. 7) $$s=\int_a^b v(t)\,dt$$. 8) $$S=\int_a^b f(x)\,dx$$. 9) $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$. 10) Линейность интеграла. 11) $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$$. 12) Фигура, ограниченная $$y=f(x)$$, $$y=0$$, $$x=a$$, $$x=b$$. 13) $$S=\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx$$.
