Ответы на вопросы Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

2. Каким образом связаны знак производной функции и характер монотонности функции на открытом промежутке?
3. Сформулируйте определение точки максимума (минимума) функции y = f(x).
4. Какую точку для функции y = f(x) называют стационарной, а какую — критической?
5. Верно ли, что всякая точка экстремума функции является стационарной или критической точкой?
6. Верно ли, что всякая стационарная или критическая точка функции является точкой экстремума? Если нет, то приведите пример.
7. Сформулируйте достаточные условия точки максимума (минимума) функции.
8. Как узнать, есть ли у графика функции y = f(x) горизонтальная асимптота; вертикальная асимптота?

1. Функция $$y=f(x)$$ называется возрастающей на промежутке, если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из этого промежутка из неравенства $$x_1>x_2$$ следует $$f(x_1)>f(x_2)$$.

   Функция называется убывающей, если из $$x_1>x_2$$ следует $$f(x_1)<f(x_2)$$.

2. Если на открытом промежутке $$X$$ выполняется $$f'(x)\ge 0$$, причём равенство $$f'(x)=0$$ имеет место лишь в конечном числе точек, то функция $$y=f(x)$$ возрастает на $$X$$.

   Если на открытом промежутке $$X$$ выполняется $$f'(x)\le 0$$, причём равенство $$f'(x)=0$$ имеет место лишь в конечном числе точек, то функция $$y=f(x)$$ убывает на $$X$$.

3. Точку $$x=x_0$$ называют точкой минимума функции $$y=f(x)$$, если существует окрестность этой точки, для всех $$x\ne x_0$$ из которой выполняется неравенство $$f(x)>f(x_0)$$.

   Точку $$x=x_0$$ называют точкой максимума, если существует окрестность этой точки, для всех $$x\ne x_0$$ из которой выполняется неравенство $$f(x)<f(x_0)$$.

4. Стационарная точка — это точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, то есть $$f'(x_0)=0$$.

   Критическая точка — это точка, в которой функция непрерывна, но не дифференцируема.

5. Да, всякая точка экстремума функции является её стационарной или критической точкой.

6. Нет, не всякая стационарная или критическая точка является точкой экстремума.

   Например, $$x=0$$ для функций $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$ и $$f(x)=x^3$$: в первом случае производная в точке $$0$$ не существует, во втором $$f'(0)=0$$, но экстремума в точке $$0$$ нет.

7. Пусть функция $$y=f(x)$$ непрерывна на промежутке $$X$$ и имеет внутри него стационарную или критическую точку $$x=x_0$$.

   Если в некоторой окрестности точки $$x_0$$ при $$x<x_0$$ выполняется $$f'(x)<0$$, а при $$x>x_0$$ выполняется $$f'(x)>0$$, то $$x_0$$ — точка минимума.

   Если при $$x<x_0$$ выполняется $$f'(x)>0$$, а при $$x>x_0$$ выполняется $$f'(x)<0$$, то $$x_0$$ — точка максимума.

   Если слева и справа от $$x_0$$ знак производной одинаков, то в точке $$x_0$$ экстремума нет.

8. Если $$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=b$$, то прямая $$y=b$$ является горизонтальной асимптотой графика функции $$y=f(x)$$.

   Если $$f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$$ и при $$x=a$$ знаменатель $$q(x)$$ обращается в нуль, а числитель $$p(x)$$ отличен от нуля, то прямая $$x=a$$ является вертикальной асимптотой.

Ответ

1) $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке, если из $$x_1>x_2$$ следует $$f(x_1)>f(x_2)$$; убывает, если из $$x_1>x_2$$ следует $$f(x_1)<f(x_2)$$.
2) При $$f'(x)\ge 0$$ функция возрастает, при $$f'(x)\le 0$$ — убывает (если равенство лишь в конечном числе точек).
3) Точка минимума (максимума) определяется сравнением значений функции в окрестности точки.
4) Стационарная точка: $$f'(x_0)=0$$; критическая точка: функция непрерывна, но не дифференцируема.
5) Да.
6) Нет; пример: $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$ или $$f(x)=x^3$$ при $$x=0$$.
7) По смене знака производной: $$-\to +$$ — минимум, $$+\to -$$ — максимум, одинаковый знак — экстремума нет.
8) Горизонтальная асимптота: $$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=b$$, вертикальная: $$q(a)=0$$ и $$p(a)\ne 0$$.