Ответы на вопросы Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
2. Что называют мгновенной скоростью движения в фиксированный момент времени?
3. Сформулируйте определение производной функции в точке.
4. Сформулируйте алгоритм нахождения производной.
5. В чём состоит геометрический смысл производной?
6. В чём состоит физический (механический) смысл производной?
7. Как по графику функции определить наличие её производной в фиксированной точке?
8. Запишите формулы дифференцирования функций: y = C, y = kx + m, y = x^2, y = x^3, y = 1/x, y = vx.
9. Сформулируйте правило вычисления производной суммы функций.
10. Сформулируйте правило вычисления производной произведения двух функций.
11. Сформулируйте правило вычисления производной частного функций.
12. Сформулируйте правило вычисления производной линейной комбинации функций.
13. В чём состоит правило дифференцирования функции вида y = f(kx + m)?
14. Запишите формулы дифференцирования тригонометрических функций: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.
15. Запишите формулу дифференцирования степенной функции y = x^r.
16. Запишите формулы дифференцирования функций y = e^x, y = a^x, y = ln x, y = log(a; x).
Средняя скорость движения по прямой за данный промежуток времени — это отношение приращения пройденного расстояния к приращению времени:
$$v_{\text{ср}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}.$$
Мгновенная скорость в фиксированный момент времени — это предел средней скорости на промежутке времени при стремлении этого промежутка к нулю:
$$v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}.$$
Производной функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_0$$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при $$\Delta x\to 0$$:
$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}, \qquad \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$
Алгоритм нахождения производной:
- задать значение $$x$$ и найти $$f(x)$$;
- дать аргументу приращение $$\Delta x$$ и найти $$f(x+\Delta x)$$;
- найти приращение функции $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$$;
- составить отношение $$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$;
- найти предел $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$.
Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке:
$$k=f'(a).$$
Физический смысл производной: если $$s=s(t)$$ — закон прямолинейного движения, то производная $$s'(t)$$ задаёт мгновенную скорость движения:
$$v(t)=s'(t).$$
По графику функция имеет производную в точке, если в этой точке можно провести касательную, не параллельную оси ординат, и график не имеет разрыва, излома или острого угла.
Формулы дифференцирования:
$$ (C)’=0,\qquad (kx+m)’=k,\qquad (x^2)’=2x,\qquad (x^3)’=3x^2, $$
$$ \left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2},\qquad (\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}. $$
Производная суммы равна сумме производных:
$$\bigl(f(x)+g(x)\bigr)’=f'(x)+g'(x).$$
Производная произведения двух функций:
$$\bigl(f(x)g(x)\bigr)’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$$
Производная частного функций:
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}, \qquad g(x)\ne 0.$$
Производная линейной комбинации функций:
$$\bigl(k_1f(x)+k_2g(x)+k_3h(x)\bigr)’=k_1f'(x)+k_2g'(x)+k_3h'(x).$$
Для функции вида $$y=f(kx+m)$$ применяется правило дифференцирования сложной функции:
$$\bigl(f(kx+m)\bigr)’=k\,f'(kx+m).$$
Формулы дифференцирования тригонометрических функций:
$$ (\sin x)’=\cos x,\qquad (\cos x)’=-\sin x, $$
$$ (\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x},\qquad (\ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}. $$
Формула дифференцирования степенной функции:
$$\bigl(x^r\bigr)’=rx^{r-1}.$$
Формулы дифференцирования показательной и логарифмической функций:
$$ (e^x)’=e^x,\qquad (a^x)’=a^x\ln a, $$
$$ (\ln x)’=\frac{1}{x},\qquad (\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a}. $$
Ответ
1) $$v_{\text{ср}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$; 2) $$v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}$$; 3) $$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$; 4) см. алгоритм выше; 5) $$f'(a)$$ — угловой коэффициент касательной; 6) $$v(t)=s'(t)$$; 7) производная существует при наличии касательной без разрыва, излома и вертикальной касательной; 8) формулы указаны выше; 9) $$\bigl(f+g\bigr)’=f’+g’$$; 10) $$\bigl(fg\bigr)’=f’g+fg’$$; 11) $$\left(\frac{f}{g}\right)’=\frac{f’g-fg’}{g^2}$$; 12) $$\bigl(k_1f+k_2g+k_3h\bigr)’=k_1f’+k_2g’+k_3h’$$; 13) $$\bigl(f(kx+m)\bigr)’=k\,f'(kx+m)$$; 14) формулы указаны выше; 15) $$\bigl(x^r\bigr)’=rx^{r-1}$$; 16) формулы указаны выше.
