Тест Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Укажите формулу, которая задаёт последовательность $$5, 9, 13, 17, \ldots$$.
а) $$y_n=4n+1$$
б) $$y_n=6n-1$$
в) $$y_n=3n+2$$
г) $$y_n=n+4$$
Укажите последовательность, которая не является монотонной.
а) $$x_n=(3-n)^2$$
б) $$x_n=n^3+1$$
в) $$x_n=-0{,}1^{n-2}$$
г) $$x_n=(-1)^{n+1}$$
Укажите свойство, которое всегда следует из сходимости последовательности.
а) последовательность убывает
б) последовательность ограничена сверху и не ограничена снизу
в) последовательность монотонна
г) последовательность ограничена
Дана последовательность $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^n$$. Укажите верные утверждения.
а) последовательность сходится
б) последовательность является убывающей
в) последовательность ограничена снизу
г) предел последовательности больше нуля
Вычислите $$\lim_{n\to\infty}\frac{(3n-4)(2-5n)}{n^2}$$.
Найдите $$\lim_{x\to-1}\frac{\sqrt{5x+6}\,(x^2-2x-3)}{x+1}$$.
Найдите приращение функции $$y=x^2+2x-3$$ при переходе от точки $$x=0$$ к точке $$x+\Delta x=0{,}1$$.
Установите соответствие между пределом и его значением.
А. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cos x}{-x}$$
Б. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(-x)}{2x}$$
В. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{-2x}$$
1) $$-0{,}5$$
2) $$-1{,}5$$
3) $$-1$$
Укажите прямую, которая является горизонтальной асимптотой к графику функции $$y=\frac{2x-1}{x+2}$$.
а) $$y=2$$
б) $$y=-2$$
в) $$y=1$$
г) $$y=-0{,}5$$
Укажите функцию, которая является непрерывной в точке $$x=2$$.
а) $$y=\begin{cases}x^3,&\text{если }x?2;\\14-2x,&\text{если }x>2;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}3x,&\text{если }x?2;\\2x+3,&\text{если }x>2;\end{cases}$$
в) $$y=\begin{cases}\cos(?x),&\text{если }x<2;\\\sqrt{x-1},&\text{если }x?2;\end{cases}$$
г) $$y=\begin{cases}2^{x-2},&\text{если }x?2;\\\log_2(x),&\text{если }x>2.\end{cases}$$

Подробный ответ

Последовательность $$5, 9, 13, 17, \ldots$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d=4$$.
Тогда
$$a_n=5+4(n-1)=4n+1.$$
Подходит вариант а).
Проверим монотонность.
- $$x_n=(3-n)^2$$ — не является монотонной;
- $$x_n=n^3+1$$ — возрастающая;
- $$x_n=-0{,}1^{\,n-2}$$ — монотонная;
- $$x_n=(-1)^{n+1}$$ — не является монотонной.
Значит, подходят варианты а) и г).
Из сходимости последовательности всегда следует её ограниченность.
Значит, верно г).
Для $$y_n=\left(\frac{2}{3}\right)^n$$ имеем:
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n=0,$$
последовательность убывает и ограничена снизу.
Верны утверждения а), б), в).
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(3n-4)(2-5n)}{n^2} =\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac{4}{n}\right)\left(\frac{2}{n}-5\right) =3\cdot(-5)=-15.$$
$$\lim_{x\to-1}\left(\sqrt{5x+6}\cdot\frac{x^2-2x-3}{x+1}\right) =\lim_{x\to-1}\left(\sqrt{5x+6}\cdot\frac{(x+1)(x-3)}{x+1}\right)$$
$$=\lim_{x\to-1}\sqrt{5x+6}\,(x-3)=\sqrt{1}\cdot(-4)=-4.$$
$$y=x^2+2x-3.$$
При $$x=0$$:
$$y(0)=0^2+2\cdot0-3=-3.$$
При $$x+\Delta x=0{,}1$$:
$$y(0{,}1)=0{,}1^2+2\cdot0{,}1-3=0{,}01+0{,}2-3=-2{,}79.$$
Тогда
$$\Delta y=y(0{,}1)-y(0)=-2{,}79-(-3)=0{,}21.$$
Используем формулу $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$.
- $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x\cos x}{-x} =-\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cos x=-1,$$
  значит А — 3.
- $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(-x)}{2x} =-\frac12\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=-0{,}5,$$
  значит Б — 1.
- $$\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{-2x} =-\frac32\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}=-1{,}5,$$
  значит В — 2.
Для функции
$$y=\frac{2x-1}{x+2}$$
горизонтальная асимптота находится по отношению старших коэффициентов:
$$y=\frac{2}{1}=2.$$
Проверим непрерывность в точке $$x=2$$.
- а) $$y=\begin{cases}x^3,& x\le 2,\\ 14-2x,& x>2.\end{cases}$$
  $$y(2)=8,\quad \lim_{x\to2+}(14-2x)=10,$$
  не непрерывна.
- б) $$y=\begin{cases}3x,& x\le 2,\\ 2x+3,& x>2.\end{cases}$$
  $$y(2)=6,\quad \lim_{x\to2+}(2x+3)=7,$$
  не непрерывна.
- в) $$y=\begin{cases}\cos(\pi x),& x\le 2,\\ \sqrt{x-1},& x>2.\end{cases}$$
  $$y(2)=\cos 2\pi=1,\quad \lim_{x\to2+}\sqrt{x-1}=1,$$
  функция непрерывна.
- г) $$y=\begin{cases}2^{x-2},& x\le 2,\\ \log_2 x,& x>2.\end{cases}$$
  $$y(2)=2^0=1,\quad \lim_{x\to2+}\log_2 x=1,$$
  функция непрерывна.
Верны варианты в) и г).