Тест Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) w = (i)^(-1)z; б) w = iz; в) w = -i^(-1)z; г) w = -2iz.
2. Какая из следующих функций переводит число -2i в число из второй координатной четверти (не включая ось координат)?
а) w = -z; в) w = z^2;
б) w = z + 3i + 2; г) w = z + 3i — 1.
3. Укажите функцию, которая переводит треугольник ? в треугольник с площадью, большей в 4 раза.
а) w = -4z — 4; в) w = z + 2i + 2;
б) w = (2i — 1)z + 2; г) w = -v2 (1 + i)z + iv(3).
4. Сколько различных значений принимают члены последовательности z_n = i^(3n-1), n ? N?
а) 2; б) 3; в) 4; г) 5.
5. Сколько членов геометрической прогрессии 1, 2i, (2i)^2, (2i)^3, (2i)^4, … лежат в круге радиусом 1000 с центром в начале координат?
а) 9; б) 10; в) 11; г) 12.
6. На рисунке 174 изображено комплексное число z. Укажите верное утверждение.
а) Re (!z) < 0; б) Im (1/z) < 0; в) Im (!z) > 0; г) Im (!z)^(-1) > 0.
7. На рисунке 175 изображено комплексное число z. Укажите неверное утверждение.
а) Re (z^2) > 0; б) Re (z) < 0; в) Im (z) > 0; г) Im (z^2) < 0. 8. Найдите значение суммы 2e^(0,5?i) - 3e^(i?) + 4e^(1,5?i). а) 3 - 2i; б) 3; в) 3 + 2i; г) 3i - 2. 9. Укажите равенство, не являющееся тождеством. а) (sin(z))^2 + (cos(-z))^2 = 1; в) -(sin(-z))^2 = (cos(z))^2 - 1; б) sin(!z) = -sin(z); г) sin(-z) = -sin(z). 10. Укажите корень уравнения e^z = -2i. а) z = -ln(2) + ?i; в) z = ln(2) + 1,5?i; б) z = -ln(2) + 3,5?i; г) z = ln(2) - 1,5?i.

1. Поворот на $$-90^\circ$$ вокруг начала координат задаёт умножение на $$-i$$.
   Так как
   $$i^{-1}=-i,$$
   то
   $$w=i^{-1}z=-iz.$$
   Значит, верна функция а).
2. Для числа $$z=-2i$$ проверим варианты:
   $$w=-z=2i,$$
   $$w=z^2=(-2i)^2=-4,$$
   $$w=z+3i+2=-2i+3i+2=2+i,$$
   $$w=z+3i-1=-2i+3i-1=-1+i.$$
   Только число $$-1+i$$ лежит во второй четверти. Значит, верна г).
3. Площадь фигуры при умножении на комплексное число $$k$$ изменяется в $$|k|^2$$ раз. Нужно, чтобы
   $$|k|^2=4,\quad |k|=2.$$
   Проверим коэффициенты:
   $$|-4|=4,$$
   $$|2i-1|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5,$$
   $$|1|=1,$$
   $$|-\sqrt2(1+i)|=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2}=2.$$
   Подходит г).
4. Последовательность:
   $$z_n=i^{3n-1}.$$
   Так как
   $$i^3=-i,$$
   то степени повторяются с периодом 4. Возможные значения:
   $$i^{-1}=-i,\quad i^2=-1,\quad i^5=i,\quad i^8=1.$$
   Различных значений четыре. Верно в).
5. Члены прогрессии:
   $$1,\ 2i,\ (2i)^2,\ (2i)^3,\dots$$
   имеют модули
   $$1,\ 2,\ 4,\ 8,\dots, 2^n,\dots$$
   Нужно, чтобы
   $$2^n<1000.$$ Проверяем: $$2^9=512<1000,\qquad 2^{10}=1024>1000.$$
   Значит, подходят члены с $$n=0,1,\dots,9$$, всего $$10$$ членов. Верно б).
6. По рисунку дано число с $$\operatorname{Re} z>0$$ и $$\operatorname{Im} z<0$$. Тогда $$\operatorname{Im}\overline z=-\operatorname{Im}z>0.$$
   Верно утверждение в).
7. По рисунку $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4}$$, значит $$\pi<2\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$ Тогда число $$z$$ лежит в третьей четверти, поэтому $$\operatorname{Re} z<0,\qquad \operatorname{Im} z<0.$$ Следовательно, $$\operatorname{Re}(z^2)=r^2\cos 2\alpha<0,$$ а утверждение про положительность $$\operatorname{Re}(z^2)$$ неверно. Неверно а).
8. Вычислим:
   $$2e^{0{,}5\pi i}=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=2i,$$
   $$3e^{i\pi}=3(\cos\pi+i\sin\pi)=-3,$$
   $$4e^{1{,}5\pi i}=4\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-4i.$$
   Тогда
   $$2e^{0{,}5\pi i}-3e^{i\pi}+4e^{1{,}5\pi i}=2i-(-3)-4i=3-2i.$$
   Верно а).
9. Проверим равенства:
   $$\sin^2 z+\cos^2(-z)=\sin^2 z+\cos^2 z=1,$$
   $$-\sin^2(-z)=-\sin^2 z=\cos^2 z-1,$$
   $$\sin(-z)=-\sin z.$$
   А вот
   $$\sin\overline z=-\sin z$$
   не является тождеством. Значит, неверно б).
10. Решим уравнение:
    $$e^z=-2i.$$
    Пусть $$z=x+iy$$. Тогда
    $$e^x(\cos y+i\sin y)=-2i.$$
    Отсюда
    $$e^x=2,\qquad \cos y=0,\qquad \sin y=-1.$$
    Значит,
    $$x=\ln 2,\qquad y=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
    Среди вариантов подходит
    $$z=\ln 2-\frac{3\pi i}{2}.$$
    Верно г).

Ответ

1) а; 2) г; 3) г; 4) в; 5) б; 6) в; 7) а; 8) а; 9) б; 10) г.