Тест Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Мордкович, Семенов, Александрова
11 класс
Класс
11
Предмет
Алгебра
Автор
Мордкович, Семенов, Александрова
Тест Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задача
- Какая из следующих функций задаёт поворот на $$-90^\circ$$ вокруг начала координат?
а) $$w=i^{-1}z$$; б) $$w=iz$$; в) $$w=-i^{-1}z$$; г) $$w=-2iz$$. - Какая из следующих функций переводит число $$-2i$$ в число из второй координатной четверти, не включая ось координат?
а) $$w=-z$$; б) $$w=z+3i+2$$; в) $$w=z^2$$; г) $$w=z+3i-1$$. - Укажите функцию, которая переводит треугольник ? в треугольник с площадью, большей в 4 раза.
а) $$w=-4z-4$$; б) $$w=(2i-1)z+2$$; в) $$w=z+2i+2$$; г) $$w=-\sqrt{2}(1+i)z+i\sqrt{3}$$. - Сколько различных значений принимают члены последовательности $$z_n=i^{3n-1}$$, $$n\in\mathbb{N}$$?
а) 2; б) 3; в) 4; г) 5. - Сколько членов геометрической прогрессии $$1,\ 2i,\ (2i)^2,\ (2i)^3,\ (2i)^4,\ldots$$ лежат в круге радиусом 1000 с центром в начале координат?
а) 9; б) 10; в) 11; г) 12. - На рисунке 174 изображено комплексное число $$z$$. Укажите верное утверждение.
а) $$\operatorname{Re}(\overline{z})<0$$; б) $$\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z}\right)<0$$; в) $$\operatorname{Im}(\overline{z})>0$$; г) $$\operatorname{Im}\left(\overline{z}^{-1}\right)>0$$. - На рисунке 175 изображено комплексное число $$z$$. Укажите неверное утверждение.
а) $$\operatorname{Re}(z^2)>0$$; б) $$\operatorname{Re}(z)<0$$; в) $$\operatorname{Im}(z)>0$$; г) $$\operatorname{Im}(z^2)<0$$. - Найдите значение суммы $$2e^{0,5\pi i}-3e^{\pi i}+4e^{1,5\pi i}$$.
а) $$3-2i$$; б) $$3$$; в) $$3+2i$$; г) $$3i-2$$. - Укажите равенство, не являющееся тождеством.
а) $$\sin^2(z)+\cos^2(-z)=1$$; б) $$-\sin^2(-z)=\cos^2(z)-1$$; в) $$\sin(\overline{z})=-\sin(z)$$; г) $$\sin(-z)=-\sin(z)$$. - Укажите корень уравнения $$e^z=-2i$$.
а) $$z=-\ln(2)+?i$$; б) $$z=-\ln(2)+3,5\pi i$$; в) $$z=\ln(2)+1,5\pi i$$; г) $$z=\ln(2)-1,5\pi i$$.
Подробный ответ
- Поворот на $$-90^\circ$$ вокруг начала координат задаёт умножение на $$-i$$.
Так как
$$i^{-1}=-i,$$
то
$$w=i^{-1}z=-iz.$$
Значит, верна функция а). - Для числа $$z=-2i$$ проверим варианты:
$$w=-z=2i,$$
$$w=z^2=(-2i)^2=-4,$$
$$w=z+3i+2=-2i+3i+2=2+i,$$
$$w=z+3i-1=-2i+3i-1=-1+i.$$
Только число $$-1+i$$ лежит во второй четверти. Значит, верна г). - Площадь фигуры при умножении на комплексное число $$k$$ изменяется в $$|k|^2$$ раз. Нужно, чтобы
$$|k|^2=4,\quad |k|=2.$$
Проверим коэффициенты:
$$|-4|=4,$$
$$|2i-1|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5,$$
$$|1|=1,$$
$$|-\sqrt2(1+i)|=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2}=2.$$
Подходит г). - Последовательность:
$$z_n=i^{3n-1}.$$
Так как
$$i^3=-i,$$
то степени повторяются с периодом 4. Возможные значения:
$$i^{-1}=-i,\quad i^2=-1,\quad i^5=i,\quad i^8=1.$$
Различных значений четыре. Верно в). - Члены прогрессии:
$$1,\ 2i,\ (2i)^2,\ (2i)^3,\dots$$
имеют модули
$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\dots, 2^n,\dots$$
Нужно, чтобы
$$2^n<1000.$$ Проверяем: $$2^9=512<1000,\qquad 2^{10}=1024>1000.$$
Значит, подходят члены с $$n=0,1,\dots,9$$, всего $$10$$ членов. Верно б). - По рисунку дано число с $$\operatorname{Re} z>0$$ и $$\operatorname{Im} z<0$$. Тогда
$$\operatorname{Im}\overline z=-\operatorname{Im}z>0.$$
Верно утверждение в). - По рисунку $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4}$$, значит $$\pi<2\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$ Тогда число $$z$$ лежит в третьей четверти, поэтому $$\operatorname{Re} z<0,\qquad \operatorname{Im} z<0.$$ Следовательно, $$\operatorname{Re}(z^2)=r^2\cos 2\alpha<0,$$ а утверждение про положительность $$\operatorname{Re}(z^2)$$ неверно. Неверно а).
- Вычислим:
$$2e^{0{,}5\pi i}=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=2i,$$
$$3e^{i\pi}=3(\cos\pi+i\sin\pi)=-3,$$
$$4e^{1{,}5\pi i}=4\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-4i.$$
Тогда
$$2e^{0{,}5\pi i}-3e^{i\pi}+4e^{1{,}5\pi i}=2i-(-3)-4i=3-2i.$$
Верно а). - Проверим равенства:
$$\sin^2 z+\cos^2(-z)=\sin^2 z+\cos^2 z=1,$$
$$-\sin^2(-z)=-\sin^2 z=\cos^2 z-1,$$
$$\sin(-z)=-\sin z.$$
А вот
$$\sin\overline z=-\sin z$$
не является тождеством. Значит, неверно б). - Решим уравнение:
$$e^z=-2i.$$
Пусть $$z=x+iy$$. Тогда
$$e^x(\cos y+i\sin y)=-2i.$$
Отсюда
$$e^x=2,\qquad \cos y=0,\qquad \sin y=-1.$$
Значит,
$$x=\ln 2,\qquad y=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Среди вариантов подходит
$$z=\ln 2-\frac{3\pi i}{2}.$$
Верно г).
Ответ
1) а; 2) г; 3) г; 4) в; 5) б; 6) в; 7) а; 8) а; 9) б; 10) г.
Другие учебники
Другие предметы