Тест Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) 0,8; б) 0,2; в) 0,4; г) 0,6.
2. Какова вероятность того, что случайным образом выбранное решение неравенства x^2?64 окажется решением неравенства |x-3|?2?
а) 5/8; б) 1/2; в) 3/16; г) 1/4.
3. Общий центр двух концентрических кругов радиусом 1 и 2 лежит на оси Ох. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка большего круга окажется выше оси Ох и вне меньшего круга?
а) 3/8; б) 1/4; в) 3/4; г) 1/2.
4. В кубике Рубика 3 x 3 наудачу выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется в одном из кубиков 1 х 1, у которых ровно одна грань расположена па поверхности куба?
а) 8/27; б) 2/9; в) 8/9; г) 4/27.
5. Случайная величина Т равномерно распределена на отрезке [—3; —1]. На каком из рисунков изображён верный эскиз графика её плотности?
6. Случайная величина R равномерно распределена на отрезке [-1; 3]. Найдите вероятность того, что её значение окажется между 0,5 и 2.
а) 1/4; б) 3/4; в) 1/2; г) 3/8.
7. Вероятность «успеха» в одном испытании равна 0,2. Какова вероятность того, что при трёх повторениях испытания «успех» наступит ровно в одном случае?
а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008; г) 0,25.
8. Укажите ответ, в котором верно заполнены пропуски в формуле Бернулли P_?(?)=C(?,33)·?^?·0,4^22, если известно, что «успех» более вероятен, чем «неудача».
а) P_33(11)=C(11,44)·0,6^11·0,4^22;
б) P_33(11)=C(11,33)·0,6^11·0,4^22;
в) P_33(22)=C(22,33)·0,6^11·0,4^22;
г) P_33(22)=C(11,33)·0,6^22·0,4^22.
9. Укажите неверное неравенство для значений функции y=Ф(x) Лапласа.
а) Ф(0,11)<Ф(0,12); в) Ф(-3)>Ф(-2);
б) Ф(1)?Ф(-2); г) Ф(5)<0,5. 10. Случайная величина Т имеет нормальное распределение N(3; 1). На каком из рисунков изображён верный эскиз графика её плотности?

Подробный ответ

На отрезке $$[-5;15]$$ длина всего отрезка равна $$15-(-5)=20$$, а длина промежутка $$(-4;4)$$ равна $$4-(-4)=8$$.
Тогда
$$P=\frac{8}{20}=0{,}4.$$
Решение неравенства $$x^2\le 64$$:
$$ -8\le x\le 8. $$
Решение неравенства $$|x-3|\le 2$$:
$$ -2\le x-3\le 2,\quad 1\le x\le 5. $$
Искомая вероятность равна отношению длины пересечения отрезков $$[-8;8]$$ и $$[1;5]$$ к длине $$[-8;8]$$:
$$ P=\frac{5-1}{8-(-8)}=\frac{4}{16}=\frac14. $$
Площадь большего круга:
$$S_2=\pi\cdot 2^2=4\pi,$$
площадь меньшего круга:
$$S_1=\pi\cdot 1^2=\pi.$$
Часть, которая находится выше оси $$Ox$$ и вне меньшего круга, составляет половину разности площадей:
$$ m=\frac{S_2-S_1}{2}=\frac{4\pi-\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}. $$
Тогда
$$ P=\frac{m}{S_2}=\frac{3\pi/2}{4\pi}=\frac38. $$
Кубик $$3\times 3\times 3$$ состоит из $$27$$ маленьких кубиков. Кубиков с ровно одной гранью на поверхности куба — $$6$$.
Поэтому
$$ P=\frac{6}{27}=\frac29. $$
Случайная величина $$T$$ равномерно распределена на отрезке $$[-3;-1]$$, значит её плотность постоянна на этом отрезке и равна
$$ p(x)=\frac{1}{-1-(-3)}=\frac12 $$
при $$x\in[-3;-1]$$, а вне этого отрезка $$p(x)=0$$. Верный эскиз — тот, где график представляет собой прямоугольник высоты $$\frac12$$ на отрезке $$[-3;-1]$$.
Для равномерного распределения на отрезке $$[-1;3]$$:
$$ P(0{,}5\le R\le 2)=\frac{2-0{,}5}{3-(-1)}=\frac{1{,}5}{4}=\frac38. $$
$$p=0{,}2,\quad q=1-p=0{,}8.$$
Ровно один успех в трёх испытаниях:
$$ P_3(1)=C_3^1\cdot 0{,}2^1\cdot 0{,}8^2=3\cdot 0{,}2\cdot 0{,}64=0{,}384. $$
Так как успех более вероятен, чем неудача, то
$$ p=0{,}6,\quad q=0{,}4. $$
В формуле Бернулли при $$n=33$$ и числе успехов $$k=11$$ получаем:
$$ P_{33}(11)=C_{33}^{11}\cdot 0{,}6^{11}\cdot 0{,}4^{22}. $$
Для функции Лапласа $$\Phi(x)$$ верно:
$$ \Phi(-x)=-\Phi(x),\qquad \Phi(x)\ \text{возрастает}. $$
Поэтому
$$ \Phi(0{,}11)<\Phi(0{,}12),\qquad \Phi(-3)<\Phi(-2),\qquad \Phi(5)<0{,}5. $$ Неверное неравенство — $$\Phi(-3)>\Phi(-2)$$.
Для нормального распределения $$N(3;1)$$ математическое ожидание равно $$3$$, а стандартное отклонение $$\sigma=1$$.
Значит, график плотности симметричен относительно прямой $$x=3$$ и имеет максимум в точке $$x=3$$. Верный эскиз — тот, где вершина расположена при $$x=3$$.