Тест Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Укажите функции, которые являются первообразными для функции $$y=x^2-4x$$: а) $$y=2x-4$$; в) $$y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+4$$; б) $$y=3x^3-8x^2$$; г) $$y=\frac{x^3-1}{3}-2x^2$$.
Укажите функцию, которая является первообразной для функции $$y=2\sin(2x)$$: а) $$y=\cos(2x)-1$$; в) $$y=-4\cos(2x)$$; б) $$y=2-\cos(2x)$$; г) $$y=1-2\cos(2x)$$.
Укажите функцию $$y=F(x)$$, которая является первообразной для функции $$y=\sqrt{x}$$, если известно, что $$F(1)=1$$: а) $$F(x)=\frac{2x\sqrt{x}+1}{3}$$; в) $$F(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-1$$; б) $$F(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}$$; г) $$F(x)=\frac{3x\sqrt{x}-1}{2}$$.
Точка движется по координатной прямой со скоростью, заданной формулой $$v=4t-3$$. Найдите закон движения $$s=s(t)$$, если известно, что в момент времени $$t=3$$ координата точки $$s=7$$: а) $$s=2t^2-3t-5$$; в) $$s=4t^2-3t-20$$; б) $$s=2t^2-12$$; г) $$s=2t^2-3t-2$$.
Найдите множество всех первообразных функции $$y=e^{2x-3}+\frac{1}{3x}$$: а) $$y=e^{2x-3}+\ln(3x)+C$$; в) $$y=2e^{2x-3}+3\ln(3x)+C$$; б) $$y=\frac{1}{2}e^{2x-3}+\frac{1}{3}\ln(x)+C$$; г) $$y=\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{3}\ln(x)+C$$.
Вычислите: $$\int_{-1}^{1}\left(x^3-\frac{1}{x^2}+1\right)\,dx$$.
Установите соответствие между определённым интегралом и его значением: А. $$\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx$$; Б. $$\int_{\pi/3}^{\pi}\cos\left(\frac{x}{2}\right)\,dx$$; В. $$\int_{-\pi/8}^{\pi/8}\frac{2}{\cos^2(2x)}\,dx$$; 1) $$2$$; 2) $$1$$; 3) $$0$$; 4) $$0{,}25$$.
Не производя вычислений, укажите интеграл с наименьшим значением: а) $$\int_{-1}^{1}(x+4)^{1/3}\,dx$$; в) $$\int_{1}^{3}(x+4)^{1/3}\,dx$$; б) $$\int_{1}^{2}(x+4)^{1/3}\,dx$$; г) $$\int_{2}^{3}(x+4)^{1/3}\,dx$$.
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $$y=3x^2-2x+5$$ и прямыми $$x=1$$, $$x=3$$, $$y=0$$.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $$y=x^3+3x^2$$, $$y=\frac{4}{x^2}$$ и прямыми $$x=2$$, $$y=0$$.

Подробный ответ

Для функции $$y=x^2-4x$$ первообразная:
$$F(x)=\int (x^2-4x)\,dx=\frac{x^3}{3}-2x^2+C.$$
Подходят варианты $$в)$$ и $$г)$$.
Для функции $$y=2\sin 2x$$:
$$F(x)=\int 2\sin 2x\,dx=-\cos 2x+C.$$
Подходит вариант $$б)$$.
Если $$F'(x)=\sqrt{x}$$, то
$$F(x)=\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.$$
Из условия $$F(1)=1$$:
$$\frac{2}{3}+C=1,\qquad C=\frac{1}{3}.$$
Значит,
$$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{1}{3}.$$
Подходит вариант $$а)$$.
Скорость $$v=4t-3$$, значит
$$s(t)=\int (4t-3)\,dt=2t^2-3t+C.$$
По условию $$s(3)=7$$:
$$18-9+C=7,\qquad C=-2.$$
Тогда
$$s(t)=2t^2-3t-2.$$
Подходит вариант $$г)$$.
Найдём первообразные для
$$y=e^{2x-3}+\frac{1}{3x}.$$
Тогда
$$F(x)=\int e^{2x-3}\,dx+\int \frac{1}{3x}\,dx =\frac{1}{2}e^{2x-3}+\frac{1}{3}\ln|x|+C.$$
При $$x>0$$ можно писать $$\ln x$$. Подходит вариант $$б)$$.
Интеграл
$$\int_{-1}^{1}\left(x^3-\frac{1}{x^2}+1\right)\,dx$$
не существует, так как подынтегральная функция имеет разрыв в точке $$x=0$$, а
$$\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}\,dx \quad \text{и} \quad \int_{0}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$$
расходятся.
Вычислим значения:
- $$A=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin 2x\,dx=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)\Bigg|_{\pi/3}^{\pi/2}=\frac{1}{4};$$
- $$Б=\int_{\pi/3}^{\pi}\cos\frac{x}{2}\,dx=\left(2\sin\frac{x}{2}\right)\Bigg|_{\pi/3}^{\pi}=1;$$
- $$В=\int_{-\pi/8}^{\pi/8}\frac{2}{\cos^2 2x}\,dx=\left(\tan 2x\right)\Bigg|_{-\pi/8}^{\pi/8}=2.$$
Соответствие:
$$A-4,\quad Б-2,\quad В-1.$$
Функция $$f(x)=\sqrt[3]{x+4}$$ возрастает на всей области определения, поэтому наименьшее значение наибольшего интеграла даёт наименьший промежуток. Среди предложенных это
$$\int_{1}^{2}\sqrt[3]{x+4}\,dx.$$
Подходит вариант $$б)$$.
Площадь:
$$S=\int_{1}^{3}(3x^2-2x+5)\,dx =\left(x^3-x^2+5x\right)\Bigg|_{1}^{3}.$$
$$S=(27-9+15)-(1-1+5)=33-5=28.$$
Найдём точки пересечения:
$$x^3+3x^2=\frac{4}{x^2}$$
$$x^5+3x^4=4$$
$$x^4(x+3)=4.$$
Подходящие точки разбиения на отрезке $$[0,2]$$: $$x=1$$ и $$x=2$$. Тогда
$$S=\int_{0}^{1}(x^3+3x^2)\,dx+\int_{1}^{2}\frac{4}{x^2}\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x^4}{4}+x^3\right)\Bigg|_{0}^{1}+\left(-\frac{4}{x}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\left(\frac14+1\right)+\left(-2+4\right)=\frac54+2=\frac{13}{4}.$$