Тест Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=2x-4; в) y=(1/3)x^3-2x^2+4;
б) y=3x^3-8x^2; г) y=(x^3-1)/3-2x^2.
2. Укажите функцию, которая является первообразной для функции y=2sin(2x).
а) y=cos(2x)-1; в) y=-4cos(2x);
б) y=2-cos(2x); г) y=1-2cos(2x).
3. Укажите функцию y=F(x), которая является первообразной для функции y=vx, если известно, что F(1)=1.
а) F(x)=(2xvx+1)/3; в) F(x)=2/vx-1;
б) F(x)=1/(2vx)+1/2; г) F(x)=(3xvx-1)/2.
4. Точка движется по координатной прямой со скоростью, заданной формулой v=4t-3. Найдите закон движения s=s(t), если известно, что в момент времени t=3 координата точки s=7.
а) s=2t^2-3t-5; в) s=4t^2-3t-20;
б) s=2t^2-12; г) s=2t^2-3t-2.
5. Найдите множество всех первообразных функции y=e^(2x-3)+1/(3x).
а) y=e^(2x-3)+ln(3x)+C; в) y=2e^(2x-3)+3ln(3x)+C;
б) y=(1/2)e^(2x-3)+(1/3)ln(x)+C; г) y=(1/2)e^x+(1/3)ln(x)+C.
6. Вычислите: (-1,1)?(x^3-1/x^2+1)dx.
7. Установите соответствие между определённым интегралом и его значением.
А. (?/3,?/2)?sin(2x)dx; Б. (?/3,?)?cos(x/2)dx; В. (-?/8,?/8)?(2/cos^2(2x))dx;
1) 2; 2) 1; 3) 0; 4) 0,25.
8. Не производя вычислений, укажите интеграл с наименьшим значением.
а) (-1,1)?(x+4)^(1/3)dx; в) (1,3)?(x+4)^(1/3)dx;
б) (1,2)?(x+4)^(1/3)dx; г) (2,3)?(x+4)^(1/3)dx.
9. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=3x^2-2x+5 и прямыми x=1, x=3, y=0.
10. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^3+3x^2, y=4/x^2 и прямыми x=2, y=0.

Подробный ответ

Для функции $$y=x^2-4x$$ первообразная:
$$F(x)=\int (x^2-4x)\,dx=\frac{x^3}{3}-2x^2+C.$$
Подходят варианты $$в)$$ и $$г)$$.
Для функции $$y=2\sin 2x$$:
$$F(x)=\int 2\sin 2x\,dx=-\cos 2x+C.$$
Подходит вариант $$б)$$.
Если $$F'(x)=\sqrt{x}$$, то
$$F(x)=\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.$$
Из условия $$F(1)=1$$:
$$ \frac{2}{3}+C=1,\qquad C=\frac{1}{3}. $$
Значит,
$$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{1}{3}.$$
Подходит вариант $$а)$$.
Скорость $$v=4t-3$$, значит
$$s(t)=\int (4t-3)\,dt=2t^2-3t+C.$$
По условию $$s(3)=7$$:
$$ 18-9+C=7,\qquad C=-2. $$
Тогда
$$s(t)=2t^2-3t-2.$$
Подходит вариант $$г)$$.
Найдём первообразные для
$$y=e^{2x-3}+\frac{1}{3x}.$$
Тогда
$$ F(x)=\int e^{2x-3}\,dx+\int \frac{1}{3x}\,dx =\frac{1}{2}e^{2x-3}+\frac{1}{3}\ln|x|+C. $$
При $$x>0$$ можно писать $$\ln x$$. Подходит вариант $$б)$$.
Интеграл
$$ \int_{-1}^{1}\left(x^3-\frac{1}{x^2}+1\right)\,dx $$
не существует, так как подынтегральная функция имеет разрыв в точке $$x=0$$, а
$$ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}\,dx \quad \text{и} \quad \int_{0}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx $$
расходятся.
Вычислим значения:
- $$A=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin 2x\,dx=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)\Bigg|_{\pi/3}^{\pi/2}=\frac{1}{4};$$
- $$Б=\int_{\pi/3}^{\pi}\cos\frac{x}{2}\,dx=\left(2\sin\frac{x}{2}\right)\Bigg|_{\pi/3}^{\pi}=1;$$
- $$В=\int_{-\pi/8}^{\pi/8}\frac{2}{\cos^2 2x}\,dx=\left(\tan 2x\right)\Bigg|_{-\pi/8}^{\pi/8}=2.$$
Соответствие:
$$A-4,\quad Б-2,\quad В-1.$$
Функция $$f(x)=\sqrt[3]{x+4}$$ возрастает на всей области определения, поэтому наименьшее значение наибольшего интеграла даёт наименьший промежуток. Среди предложенных это
$$\int_{1}^{2}\sqrt[3]{x+4}\,dx.$$
Подходит вариант $$б)$$.
Площадь:
$$ S=\int_{1}^{3}(3x^2-2x+5)\,dx =\left(x^3-x^2+5x\right)\Bigg|_{1}^{3}. $$
$$ S=(27-9+15)-(1-1+5)=33-5=28. $$
Найдём точки пересечения:
$$ x^3+3x^2=\frac{4}{x^2} $$
$$ x^5+3x^4=4 $$
$$ x^4(x+3)=4. $$
Подходящие точки разбиения на отрезке $$[0,2]$$: $$x=1$$ и $$x=2$$. Тогда
$$ S=\int_{0}^{1}(x^3+3x^2)\,dx+\int_{1}^{2}\frac{4}{x^2}\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{x^4}{4}+x^3\right)\Bigg|_{0}^{1}+\left(-\frac{4}{x}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\left(\frac14+1\right)+\left(-2+4\right)=\frac54+2=\frac{13}{4}. $$