Тест Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

2. На рисунке 104, б задан график производной функции y=f(x). Укажите наибольшую из длин промежутков убывания функции.
3. Выберите верные утверждения относительно функции y=x+sin(x).
а) Производная функции положительна при всех значениях х.
б) Производная функции неотрицательна при всех значениях х.
в) Функция возрастает на всей области определения.
г) Функция возрастает на промежутке [0; ?], убывает на промежутке [?; 2?].
4. На рисунке 105 изображён график производной функции y=f'(x). Укажите количество точек максимума функции y=f(x).
5. Найдите точку минимума функции y=x^2-8ln(x+3).
6. Учитель предложил учащимся оценить верность следующих трёх утверждений относительно функций, определённых на всей числовой прямой:
1) значение функции в точке максимума всегда больше её значения в точке минимума;
2) если y=f'(x_0) существует и f'(x_0)?0, то точка x_0 не является точкой максимума;
3) если x_0 точка максимума функции y=f(x), то f'(x_0)=0.
Аня считает, что среди этих утверждений 1 и 2 — верны, а 3 неверно.
Даня считает, что верно только утверждение 2.
Саша думает, что верны все три утверждения.
Маша полагает, что 1 — неверно, а 2 и 3 — верны.
Кто из учащихся прав?
а) Аня; б) Даня; в) Саша; г) Маша.
7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=1,5(x^2)^(1/3)-x на отрезке [О; 8].
а) y_наим=-2, y_наиб=0; в) y_наим=0, y_наиб=0,5;
б) y_наим=-2, y_наиб=0,5; г) y_наим=0,5, y_наиб=1.
8. Найдите наибольшее значение функции y=v27·tg(2x) на отрезке [-?/2; ?/6].
9. Укажите верное утверждение относительно функции y=x^3-2x^2+3x.
а) У данной функции две стационарные точки.
б) У данной функции одна точка минимума.
в) Данная функция возрастает на всей числовой прямой.
г) График данной функции расположен выше оси абсцисс.
10. Укажите неверное утверждение относительно функции y=2-x^(-0,5).
а) Данная функция определена не на всей числовой прямой.
б) У данной функции нет стационарных точек.
в) График данной функции расположен правее оси ординат.
г) У данной функции одна точка максимума.

1. На графике функции производная равна нулю в точках с горизонтальной касательной. Таких точек 6.

2. Промежутки убывания функции соответствуют участкам, где $$f'(x)<0.$$

   По графику: $$[-6;-4]\cup[6;7).$$

   Их длины:

   $$l_1=-4-(-6)=2,$$

   $$l_2=7-6=1.$$

   Наибольшая длина равна 2.

3. Для функции $$y=x+\sin x$$ имеем

   $$y'(x)=1+\cos x.$$

   Так как $$\cos x\ge -1,$$ то

   $$1+\cos x\ge 0.$$

   Значит, верны утверждения б) и в).

4. Точки максимума функции соответствуют переходу производной через нуль со знака $$+$$ на знак $$-.$$

   По графику таких точек 3.

5. Найдём производную:

   $$y=x^2-8\ln(x+3),$$

   $$y'(x)=2x-\frac{8}{x+3}.$$

   Критические точки найдём из уравнения

   $$2x-\frac{8}{x+3}=0,$$

   $$2x(x+3)-8=0,$$

   $$2x^2+6x-8=0,$$

   $$x^2+3x-4=0,$$

   $$ (x+4)(x-1)=0.$$

   Отсюда $$x=-4$$ или $$x=1.$$

   Так как $$x>-3,$$ подходит только $$x=1.$$

   В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

6. Проверим утверждения:

   • 1) неверно;
   • 2) верно;
   • 3) верно.

   Правильный ответ: г).

7. Функция

   $$y=1{,}5\sqrt[3]{x^2}-x=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,$$

   определена на отрезке $$[0;8].$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}-1=x^{-1/3}-1.$$

   $$y'(x)\ge 0 \iff x^{-1/3}\ge 1 \iff x\le 1.$$

   Значит, на $$[0;1]$$ функция возрастает, а на $$[1;8]$$ убывает.

   Считаем значения в концах и в критической точке:

   $$y(0)=0,$$

   $$y(1)=\frac{3}{2}-1=0{,}5,$$

   $$y(8)=\frac{3}{2}\cdot 4-8=6-8=-2.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=0{,}5.$$

8. Функция

   $$y=\sqrt{27}\cdot\tg(2x), \quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right].$$

   На данном отрезке функция возрастает, так как

   $$y'(x)=\sqrt{27}\cdot\frac{2}{\cos^2(2x)}>0.$$

   Значит, наибольшее значение достигается в правом конце отрезка:

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{27}\cdot\tg\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}=9.$$

9. Для функции

   $$y=x^3-2x^2+3x$$

   имеем

   $$y'(x)=3x^2-4x+3.$$

   Дискриминант:

   $$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 3=16-36=-20<0.$$

   Так как старший коэффициент положителен, то $$y'(x)>0$$ при всех $$x.$$ Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

   Верно утверждение в).

10. Функция

    $$y=2-x^{-0{,}5}=2-\frac{1}{\sqrt{x}}$$

    определена только при $$x>0.$$

    Производная:

    $$y'(x)=\frac{1}{2}x^{-3/2}>0 \quad (x>0).$$

    Значит, функция возрастает на своей области определения и не имеет точки максимума.

    Неверно утверждение г).

Ответ

1) 6; 2) 2; 3) б), в); 4) 3; 5) 1; 6) г); 7) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=0{,}5$$; 8) 9; 9) в); 10) г).