Тест Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- На рисунке 104, а задан график дифференцируемой функции $$y=f(x)$$. Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.
- На рисунке 104, б задан график производной функции $$y=f(x)$$. Укажите наибольшую из длин промежутков убывания функции.
- Выберите верные утверждения относительно функции $$y=x+\sin(x)$$.
а) Производная функции положительна при всех значениях $$x$$.
б) Производная функции неотрицательна при всех значениях $$x$$.
в) Функция возрастает на всей области определения.
г) Функция возрастает на промежутке $$[0; ?]$$, убывает на промежутке $$[?; 2?]$$. - На рисунке 105 изображён график производной функции $$y=f'(x)$$. Укажите количество точек максимума функции $$y=f(x)$$.
- Найдите точку минимума функции $$y=x^2-8\ln(x+3)$$.
- Учитель предложил учащимся оценить верность следующих трёх утверждений относительно функций, определённых на всей числовой прямой:
1) значение функции в точке максимума всегда больше её значения в точке минимума;
2) если $$y=f'(x_0)$$ существует и $$f'(x_0)\ne 0$$, то точка $$x_0$$ не является точкой максимума;
3) если $$x_0$$ — точка максимума функции $$y=f(x)$$, то $$f'(x_0)=0$$.
Аня считает, что среди этих утверждений 1 и 2 — верны, а 3 неверно. Даня считает, что верно только утверждение 2. Саша думает, что верны все три утверждения. Маша полагает, что 1 — неверно, а 2 и 3 — верны. Кто из учащихся прав?
а) Аня; б) Даня; в) Саша; г) Маша. - Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=1{,}5(x^2)^{1/3}-x$$ на отрезке $$[0; 8]$$.
а) $$y_{\text{наим}}=-2,\ y_{\text{наиб}}=0$$;
б) $$y_{\text{наим}}=-2,\ y_{\text{наиб}}=0{,}5$$;
в) $$y_{\text{наим}}=0,\ y_{\text{наиб}}=0{,}5$$;
г) $$y_{\text{наим}}=0{,}5,\ y_{\text{наиб}}=1$$. - Найдите наибольшее значение функции $$y=\sqrt{27}\cdot\operatorname{tg}(2x)$$ на отрезке $$[-\pi/2;\ \pi/6]$$.
- Укажите верное утверждение относительно функции $$y=x^3-2x^2+3x$$.
а) У данной функции две стационарные точки.
б) У данной функции одна точка минимума.
в) Данная функция возрастает на всей числовой прямой.
г) График данной функции расположен выше оси абсцисс. - Укажите неверное утверждение относительно функции $$y=2-x^{-0{,}5}$$.
а) Данная функция определена не на всей числовой прямой.
б) У данной функции нет стационарных точек.
в) График данной функции расположен правее оси ординат.
г) У данной функции одна точка максимума.
На графике функции производная равна нулю в точках с горизонтальной касательной. Таких точек 6.
Промежутки убывания функции соответствуют участкам, где $$f'(x)<0.$$
По графику: $$[-6;-4]\cup[6;7).$$
Их длины:
$$l_1=-4-(-6)=2,$$
$$l_2=7-6=1.$$
Наибольшая длина равна 2.
Для функции $$y=x+\sin x$$ имеем
$$y'(x)=1+\cos x.$$
Так как $$\cos x\ge -1,$$ то
$$1+\cos x\ge 0.$$
Значит, верны утверждения б) и в).
Точки максимума функции соответствуют переходу производной через нуль со знака $$+$$ на знак $$-.$$
По графику таких точек 3.
Найдём производную:
$$y=x^2-8\ln(x+3),$$
$$y'(x)=2x-\frac{8}{x+3}.$$
Критические точки найдём из уравнения
$$2x-\frac{8}{x+3}=0,$$
$$2x(x+3)-8=0,$$
$$2x^2+6x-8=0,$$
$$x^2+3x-4=0,$$
$$(x+4)(x-1)=0.$$
Отсюда $$x=-4$$ или $$x=1.$$
Так как $$x>-3,$$ подходит только $$x=1.$$
В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
Проверим утверждения:
- 1) неверно;
- 2) верно;
- 3) верно.
Правильный ответ: г).
Функция
$$y=1{,}5\sqrt[3]{x^2}-x=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,$$
определена на отрезке $$[0;8].$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}-1=x^{-1/3}-1.$$
$$y'(x)\ge 0 \iff x^{-1/3}\ge 1 \iff x\le 1.$$
Значит, на $$[0;1]$$ функция возрастает, а на $$[1;8]$$ убывает.
Считаем значения в концах и в критической точке:
$$y(0)=0,$$
$$y(1)=\frac{3}{2}-1=0{,}5,$$
$$y(8)=\frac{3}{2}\cdot 4-8=6-8=-2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=0{,}5.$$
Функция
$$y=\sqrt{27}\cdot\tg(2x), \quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right].$$
На данном отрезке функция возрастает, так как
$$y'(x)=\sqrt{27}\cdot\frac{2}{\cos^2(2x)}>0.$$
Значит, наибольшее значение достигается в правом конце отрезка:
$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{27}\cdot\tg\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}=9.$$
Для функции
$$y=x^3-2x^2+3x$$
имеем
$$y'(x)=3x^2-4x+3.$$
Дискриминант:
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 3=16-36=-20<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$y'(x)>0$$ при всех $$x.$$ Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.
Верно утверждение в).
Функция
$$y=2-x^{-0{,}5}=2-\frac{1}{\sqrt{x}}$$
определена только при $$x>0.$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{1}{2}x^{-3/2}>0 \quad (x>0).$$
Значит, функция возрастает на своей области определения и не имеет точки максимума.
Неверно утверждение г).
Ответ
1) 6; 2) 2; 3) б), в); 4) 3; 5) 1; 6) г); 7) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=0{,}5$$; 8) 9; 9) в); 10) г).
