Тест Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Движение точки по координатной прямой задаётся формулой $$s(t)=2t^2-3t+1$$. Найдите скорость движения точки в момент времени $$t=2$$.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=\frac{1}{x^2}$$ в точке с абсциссой $$x_0=-0{,}5$$.
Укажите производную функции $$y=v(2x)$$.
а) $$\frac{1}{vx}$$
б) $$\frac{1}{2v(2x)}$$
в) $$\frac{1}{v(2x)}$$
г) $$\frac{2}{vx}$$
Укажите выражение, равное производной функции $$y=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)$$.
а) $$-\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)$$
б) $$-\cos(x)$$
в) $$\sin(x)$$
г) $$-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)$$
На рисунке 55 изображён график дифференцируемой функции $$y=f(x)$$. На графике отмечены точки L, М, N, Р. Укажите неверное утверждение относительно произведения угловых коэффициентов касательных в этих точках.
а) $$k_M\cdot k_N>0$$
в) $$k_M\cdot k_L<0$$
б) $$k_N\cdot k_P>0$$
г) $$k_L\cdot k_N\cdot k_P>0$$
На рисунке 56 изображён график производной функции $$y=f(x)$$. Укажите количество стационарных точек.
Найдите тангенс угла между касательной, проведённой к графику функции $$y=x^2\cdot x^{1/3}$$ в точке $$x_0=1$$, и положительным направлением оси абсцисс.
а) $$2\frac{1}{3}$$
б) $$\frac{2}{3}$$
в) $$1$$
г) $$1\frac{2}{3}$$
Дана функция $$y=32^x$$. Решите уравнение $$y’=320\ln(2)$$.
Дана функция $$y=\ln(4x-1)$$. Решите неравенство $$y’<12$$.
а) $$\frac{1}{4}в) $$x<\frac{1}{4},\ x>\frac{1}{3}$$
б) $$x<\frac{1}{3},\ x?\frac{1}{4}$$
г) $$x>\frac{1}{3}$$
Составьте уравнение той касательной к графику функции $$y=4x^4-\ln(x)$$, которая параллельна прямой $$y=-1$$.

Подробный ответ

Скорость — это производная пути:
$$s(t)=2t^2-3t+1$$
$$v(t)=s'(t)=4t-3$$
$$v(2)=4\cdot 2-3=5$$
Найдём производную функции:
$$y=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$$
$$y'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$$
$$y'(-0{,}5)=-\frac{2}{(-0{,}5)^3}=16$$
$$y=\sqrt{2x}$$
$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x}}$$
Верный ответ: в).
$$y=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)$$
По правилу дифференцирования сложной функции:
$$y’=\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\cdot(-1)=-\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)$$
Так как $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x,$$ то
$$y’=\sin x$$
Подходят варианты а) и в).
По графику знаки угловых коэффициентов такие:
$$k_L<0,\quad k_P<0,\quad k_M>0,\quad k_N>0$$
Тогда:
$$k_M\cdot k_N>0,\quad k_N\cdot k_P<0,\quad k_M\cdot k_L<0,\quad k_L\cdot k_N\cdot k_P>0$$
Неверное утверждение — б).
Количество стационарных точек равно числу корней уравнения $$f'(x)=0$$.
По графику производной таких точек 4.
$$y=x^2\cdot \sqrt[3]{x}=x^2\cdot x^{1/3}=x^{7/3}$$
$$y’=\frac{7}{3}x^{4/3}$$
При $$x_0=1$$:
$$y'(1)=\frac{7}{3}$$
Тангенс угла наклона касательной равен $$\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$$.
Верный ответ: а).
$$y=32^x$$
$$y’=32^x\ln 32$$
По условию:
$$32^x\ln 32=320\ln 2$$
Так как $$\ln 32=5\ln 2,$$ получаем:
$$32^x\cdot 5\ln 2=320\ln 2$$
$$32^x=64=2^6,\quad 32=2^5$$
$$2^{5x}=2^6,\quad 5x=6,\quad x=\frac{6}{5}=1{,}2$$
$$y=\ln(4x-1)$$
$$y’=\frac{4}{4x-1}$$
Решаем неравенство:
$$\frac{4}{4x-1}<12$$
Область определения: $$4x-1>0,\; x>\frac14.$$
При $$4x-1>0$$ умножаем на положительное число:
$$4<12(4x-1)$$
$$4<48x-12$$
$$16<48x$$
$$x>\frac13$$
С учётом ОДЗ получаем $$x>\frac13$$.
Верный ответ: г).
Касательная параллельна прямой $$y=-1$$, значит её угловой коэффициент равен $$0$$.
$$y=4x^4-\ln x$$
$$y’=16x^3-\frac{1}{x}$$
Найдём точку касания:
$$16x^3-\frac{1}{x}=0$$
$$16x^4-1=0$$
$$x^4=\frac{1}{16},\quad x=\frac12$$
Тогда
$$y\left(\frac12\right)=4\left(\frac12\right)^4-\ln\frac12=\frac14+\ln 2$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac14+\ln 2$$