Тест Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=1/x^2 в точке с абсциссой x_0=-0,5.
3. Укажите производную функции y=v(2x).
а) 1/vx б) 1/(2v(2x)) в) 1/v(2x) г) 2/vx
4. Укажите выражение, равное производной функции y=sin(3?/2-x).
а) -cos(3?/2-x) б) -cos(x) в) sin(x) г) -sin(3?/2-x)
5. На рисунке 55 изображён график дифференцируемой функции y=f(x). На графике отмечены точки L, М, N, Р. Укажите неверное утверждение относительно произведения угловых коэффициентов касательных в этих точках.
а) k_M·k_N>0 в) k_M·k_L<0 б) k_N·k_P>0 г) k_L·k_N·k_P>0
6. На рисунке 56 изображён график производной функции y=f(x). Укажите количество стационарных точек.
7. Найдите тангенс угла между касательной, проведённой к графику функции y=x^2·x^(1/3) в точке x_0=1, и положительным направлением оси абсцисс.
а) 2 1/3 б) 2/3 в) 1 г) 1 2/3
8. Дана функция y=32^x. Решите уравнение y’=320ln(2).
9. Дана функция y=ln(4x-1). Решите неравенство y’<12. а) 1/41/3
б) x<1/3, x?1/4 г) x>1/3
10. Составьте уравнение той касательной к графику функции y=4x^4-ln(x), которая параллельна прямой y=-1.

1. Скорость — это производная пути:

   $$s(t)=2t^2-3t+1$$

   $$v(t)=s'(t)=4t-3$$

   $$v(2)=4\cdot 2-3=5$$

2. Найдём производную функции:

   $$y=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$$

   $$y'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$$

   $$y'(-0{,}5)=-\frac{2}{(-0{,}5)^3}=16$$

3. $$y=\sqrt{2x}$$

   $$y’=\frac{1}{\sqrt{2x}}$$

   Верный ответ: в).

4. $$y=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)$$

   По правилу дифференцирования сложной функции:

   $$y’=\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\cdot(-1)=-\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)$$

   Так как $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x,$$ то

   $$y’=\sin x$$

   Подходят варианты а) и в).

5. По графику знаки угловых коэффициентов такие:

   $$k_L<0,\quad k_P<0,\quad k_M>0,\quad k_N>0$$

   Тогда:

   $$k_M\cdot k_N>0,\quad k_N\cdot k_P<0,\quad k_M\cdot k_L<0,\quad k_L\cdot k_N\cdot k_P>0$$

   Неверное утверждение — б).

6. Количество стационарных точек равно числу корней уравнения $$f'(x)=0$$.

   По графику производной таких точек 4.

7. $$y=x^2\cdot \sqrt[3]{x}=x^2\cdot x^{1/3}=x^{7/3}$$

   $$y’=\frac{7}{3}x^{4/3}$$

   При $$x_0=1$$:

   $$y'(1)=\frac{7}{3}$$

   Тангенс угла наклона касательной равен $$\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$$.

   Верный ответ: а).

8. $$y=32^x$$

   $$y’=32^x\ln 32$$

   По условию:

   $$32^x\ln 32=320\ln 2$$

   Так как $$\ln 32=5\ln 2,$$ получаем:

   $$32^x\cdot 5\ln 2=320\ln 2$$

   $$32^x=64=2^6,\quad 32=2^5$$

   $$2^{5x}=2^6,\quad 5x=6,\quad x=\frac{6}{5}=1{,}2$$

9. $$y=\ln(4x-1)$$

   $$y’=\frac{4}{4x-1}$$

   Решаем неравенство:

   $$\frac{4}{4x-1}<12$$

   Область определения: $$4x-1>0,\; x>\frac14.$$

   При $$4x-1>0$$ умножаем на положительное число:

   $$4<12(4x-1)$$

   $$4<48x-12$$

   $$16<48x$$

   $$x>\frac13$$

   С учётом ОДЗ получаем $$x>\frac13$$.

   Верный ответ: г).

10. Касательная параллельна прямой $$y=-1$$, значит её угловой коэффициент равен $$0$$.

    $$y=4x^4-\ln x$$

    $$y’=16x^3-\frac{1}{x}$$

    Найдём точку касания:

    $$16x^3-\frac{1}{x}=0$$

    $$16x^4-1=0$$

    $$x^4=\frac{1}{16},\quad x=\frac12$$

    Тогда

    $$y\left(\frac12\right)=4\left(\frac12\right)^4-\ln\frac12=\frac14+\ln 2$$

    Уравнение касательной:

    $$y=\frac14+\ln 2$$

Ответ

1) $$5$$; 2) $$16$$; 3) в); 4) а), в); 5) б); 6) $$4$$; 7) а); 8) $$1{,}2$$; 9) г); 10) $$y=\frac14+\ln 2$$.