Дополнительная задача 9 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Какие из условий «а» — «е» являются достаточными для справедливости равенства $$f'(1)=3$$:

а) $$f(x)=3-0{,}5(5-6x)$$;
б) $$f(x)=x^2+x-11$$;
в) $$f(x)=x^3-x^2+x$$;
г) $$f(x)=\frac{6}{\sqrt{x}}+4x\sqrt{x}$$;
д) $$f(x)+3\ln(x)$$;
е) $$f(x)=\sin(?x)$$?

Проверим каждое условие, найдя производную функции и подставив $$x=1$$.

1. а) $$f(x)=3-0{,}5(5-6x)$$

   $$f(x)=3-2{,}5+3x=0{,}5+3x,$$

   $$f'(x)=3,$$

   значит, $$f'(1)=3$$. Условие достаточное.

2. б) $$f(x)=x^2+x-11$$

   $$f'(x)=2x+1,$$

   $$f'(1)=2\cdot 1+1=3.$$

   Условие достаточное.

3. в) $$f(x)=x^3-x^2+x$$

   $$f'(x)=3x^2-2x+1,$$

   $$f'(1)=3-2+1=2.$$

   Условие не является достаточным.

4. г) $$f(x)=\dfrac{6}{\sqrt{x}}+4x\sqrt{x}$$

   $$f'(x)=6\left(-\dfrac12 x^{-3/2}\right)+4\cdot \dfrac32 x^{1/2},$$

   $$f'(x)=-3x^{-3/2}+6x^{1/2}.$$

   Тогда

   $$f'(1)=-3+6=3.$$

   Условие достаточное.

5. д) $$f(x)=3+\ln x$$

   $$f'(x)=\dfrac1x,$$

   $$f'(1)=1.$$

   Условие не является достаточным.

6. е) $$f(x)=\sin(\pi x)$$

   $$f'(x)=\pi\cos(\pi x),$$

   $$f'(1)=\pi\cos\pi=-\pi.$$

   Условие не является достаточным.

Ответ

Достаточными являются условия а), б), г).