Дополнительная задача 9 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. По таблице геометрического распределения (см. упражнение 5 «а») найдите выражение для вероятности: а) $$P(G=3)$$; в) $$P(G<3)$$; д) $$P(G\text{ — нечётно})$$; б) $$P(G=36)$$; г) $$P(G>4)$$; е) $$P(G\text{ — чётно})$$.

Для геометрического распределения имеем:

$$P(G=n)=q^{\,n-1}p,$$

где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$.

Тогда:

1. $$P(G=3)=q^2p.$$
2. $$P(G=36)=q^{35}p.$$
3. $$P(G<3)=P(G=1)+P(G=2)=p+qp=p(1+q).$$
4. $$P(G>4)=1-P(G\le 4)=1-(p+qp+q^2p+q^3p).$$

   Сумма первых четырёх вероятностей:

   $$p+qp+q^2p+q^3p=p(1+q+q^2+q^3).$$

   Поэтому

   $$P(G>4)=q^4.$$

5. Если $$G$$ — нечётно, то

   $$P(G\text{ — нечётно})=p+q^2p+q^4p+\cdots$$

   Это сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$P(G\text{ — нечётно})=\frac{p}{1-q^2}=\frac{1-q}{(1-q)(1+q)}=\frac{1}{1+q}.$$

6. Если $$G$$ — чётно, то

   $$P(G\text{ — чётно})=qp+q^3p+q^5p+\cdots$$

   Тогда

   $$P(G\text{ — чётно})=\frac{qp}{1-q^2}=\frac{q(1-q)}{(1-q)(1+q)}=\frac{q}{1+q}.$$

Ответ

$$P(G=3)=q^2p,\quad P(G=36)=q^{35}p,\quad P(G<3)=p(1+q),\quad P(G>4)=q^4,$$
$$P(G\text{ — нечётно})=\frac{1}{1+q},\quad P(G\text{ — чётно})=\frac{q}{1+q}.$$