Дополнительная задача 9 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Плоскую фигуру $$\{(x; y): x\ge 0,\ 0\le y\le\sqrt{x}\}$$ между осью $$Ox$$ и ветвью параболы $$y=\sqrt{x}$$ вращают вокруг $$Ox$$. Найдите объём части этого тела вращения при: а) $$0\le x\le 1$$; б) $$0\le x\le 2$$; в) $$1\le x\le 2$$; г) $$1\le x\le 11$$; д) $$3\le x\le 13$$; е) $$x\in[1;3]\cup[5;15]$$.

Объём тела вращения вокруг оси Ox на отрезке $$[a;b]$$ находим по формуле

$$V=\pi\int_a^b y^2\,dx.$$

1. $$0\le x\le 1$$

   $$V=\pi\int_0^1 x\,dx=\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1 =\pi\cdot\frac{1}{2}-\pi\cdot 0=\frac{\pi}{2}.$$

2. $$0\le x\le 2$$

   $$V=\pi\int_0^2 x\,dx=\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^2 =\pi\cdot\frac{4}{2}-\pi\cdot 0=2\pi.$$

3. $$1\le x\le 2$$

   $$V=\pi\int_1^2 x\,dx=\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^2 =\pi\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{3\pi}{2}.$$

4. $$1\le x\le 11$$

   $$V=\pi\int_1^{11} x\,dx=\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^{11} =\pi\left(\frac{121}{2}-\frac{1}{2}\right)=60\pi.$$

5. $$3\le x\le 13$$

   $$V=\pi\int_3^{13} x\,dx=\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_3^{13} =\pi\left(\frac{169}{2}-\frac{9}{2}\right)=80\pi.$$

6. $$x\in[1;3]\cup[5;15]$$

   $$V=\pi\int_1^3 x\,dx+\pi\int_5^{15} x\,dx =\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3+\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_5^{15}$$
   $$=\frac{\pi}{2}(9-1)+\frac{\pi}{2}(225-25) =4\pi+100\pi=104\pi.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{2}$$; б) $$2\pi$$; в) $$\frac{3\pi}{2}$$; г) $$60\pi$$; д) $$80\pi$$; е) $$104\pi$$.