Дополнительная задача 9 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ((1+x)^3-1)/x; г) ((1+x)^4-1)/x;
б) ((1-3x)^3-1)/x; д) ((1-x)^5-1)/(10x);
в) (8-(2-x)^3)/x; е) ((1+4x)^5-(1+5x)^4)/(x^2-x^3).

1. а)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^3-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1+3x+3x^2+x^3-1}{x}$$
   $$=\lim_{x\to 0}\frac{3x+3x^2+x^3}{x}=\lim_{x\to 0}(3+3x+x^2)=3.$$

2. б)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{(1-3x)^3-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-9x+27x^2-27x^3-1}{x}$$
   $$=\lim_{x\to 0}\frac{-9x+27x^2-27x^3}{x}=\lim_{x\to 0}(-9+27x-27x^2)=-9.$$

3. в)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{8-(2-x)^3}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{8-(8-12x+6x^2-x^3)}{x}$$
   $$=\lim_{x\to 0}\frac{12x-6x^2+x^3}{x}=\lim_{x\to 0}(12-6x+x^2)=12.$$

4. г)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^4-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1+4x+6x^2+4x^3+x^4-1}{x}$$
   $$=\lim_{x\to 0}\frac{4x+6x^2+4x^3+x^4}{x}=\lim_{x\to 0}(4+6x+4x^2+x^3)=4.$$

5. д)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{(1-x)^5-1}{10x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5-1}{10x}$$
   $$=\lim_{x\to 0}\frac{-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5}{10x}$$
   $$=\lim_{x\to 0}\left(-\frac12+x-x^2+\frac12x^3-\frac1{10}x^4\right)=-\frac12.$$

6. е)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{(1+4x)^5-(1+5x)^4}{x^2-x^3}$$
   $$=\lim_{x\to 0}\frac{(1+20x+160x^2+\dots)-(1+20x+150x^2+\dots)}{x^2(1-x)}$$
   $$=\lim_{x\to 0}\frac{10x^2+\dots}{x^2(1-x)}=\lim_{x\to 0}\frac{10+\dots}{1-x}=10.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$-9$$; в) $$12$$; г) $$4$$; д) $$-\frac12$$; е) $$10$$.