Дополнительная задача 9 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и с диагональю OM, где O — начало координат, а M — точка на графике функции $$x=3-4\ln(0{,}2x-1),\quad 6\leq x\leq 9{,}5$$.

Пусть точка $$M(x;y)$$ лежит на графике функции

$$y=3-4\ln(0{,}2x-1), \qquad 6\le x\le 9{,}5.$$

Тогда прямоугольник с вершинами $$O(0;0),\ A(0;y),\ M(x;y),\ B(x;0)$$ имеет стороны $$x$$ и $$y$$, а его периметр равен

$$P=2(x+y)=2\bigl(x+3-4\ln(0{,}2x-1)\bigr).$$

Найдём производную:

$$\bigl(\ln(0{,}2x-1)\bigr)’=\frac{0{,}2}{0{,}2x-1}=\frac{1}{x-5}.$$

Тогда

$$P'(x)=2\left(1-\frac{4}{x-5}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$2\left(1-\frac{4}{x-5}\right)=0,$$
$$1-\frac{4}{x-5}=0,$$
$$x-5=4,$$
$$x=9.$$

Проверим знак производной на концах отрезка:

$$P'(6)=2\left(1-\frac{4}{6-5}\right)=2(1-4)<0,$$

$$P'(9{,}5)=2\left(1-\frac{4}{9{,}5-5}\right)=2\left(1-\frac{8}{9}\right)>0.$$

Значит, при переходе через $$x=9$$ производная меняет знак с «$$-$$» на «$$+$$», поэтому в этой точке достигается минимум периметра.

Вычислим минимальное значение:

$$P_{\min}=P(9)=2\bigl(9+3-4\ln(0{,}2\cdot 9-1)\bigr).$$

Так как $$0{,}2\cdot 9-1=0{,}8,$$ получаем

$$P_{\min}=2(12-4\ln 0{,}8)=24-8\ln 0{,}8.$$

Ответ

$$24-8\ln 0{,}8$$