Упр.9.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:

а) $$y=\frac{\sin(2x)}{\cos(x)}$$;
в) $$y=\frac{\sin(2x)}{4\sin(x)}$$;
б) $$y=\frac{\sin(x)}{\tg\left(\frac{x}{2}\right)}$$;
г) $$y=\frac{\cos(2x)}{\ctg(2x)}$$.

Подробный ответ

а)
$$y=\frac{\sin 2x}{\cos x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x,$$
$$\cos x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
График функции $$y=2\sin x$$ с выколотыми точками при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$.
б)
$$y=\frac{\sin x}{\tg \frac{x}{2}}=\sin x\cdot \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$
Так как $$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2},$$ получаем
$$y=2\cos^2 \frac{x}{2}=1+\cos x.$$
Область определения: $$x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$ График функции $$y=1+\cos x$$ с выколотыми точками при $$x=\pi n$$.
в)
$$y=\frac{\sin 2x}{4\sin x}=\frac{2\sin x\cos x}{4\sin x}=\frac12\cos x,$$
$$\sin x\ne 0,\quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
График функции $$y=\frac12\cos x$$ с выколотыми точками при $$x=\pi n$$.
г)
$$y=\frac{\cos 2x}{\ctg 2x}=\cos 2x\cdot \tg 2x=\cos 2x\cdot \frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\sin 2x,$$
$$\ctg 2x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
График функции $$y=\sin 2x$$ с выколотыми точками при $$x=\frac{\pi n}{2}$$.

Ответ

а) $$y=2\sin x,\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$;
б) $$y=1+\cos x,\ x\ne \pi n$$;
в) $$y=\frac12\cos x,\ x\ne \pi n$$;
г) $$y=\sin 2x,\ x\ne \frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$.