Упр.9.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) sin(x) · v(4 — x^2) = 0; г) sin(x) · v(9 — x^2) = 0;
б) cos(x) · v(4x — 3 — x^2) = 0; д) sin(x) · v(5x — 2 — 2x^2) = 0;
в) tg(x) · v(9 — 4x^2) = 0; е) ctg(x) · v(16 — x^2) = 0.
- $$\sin x\cdot \sqrt{4-x^2}=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
2) Область определения корня:
$$4-x^2\ge 0 \Rightarrow x^2\le 4 \Rightarrow -2\le x\le 2.$$
Из значений $$x=\pi n$$ в этот промежуток попадают только $$x=0$$.
Кроме того, при $$4-x^2=0$$ получаем $$x=\pm 2$$.
Итак, $$x=-2,\;0,\;2.$$
- $$\cos x\cdot \sqrt{4x-3-x^2}=0$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
2) Область определения корня:
$$4x-3-x^2\ge 0 \Rightarrow x^2-4x+3\le 0$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$
$$1\le x\le 3.$$Из значений $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ в этот промежуток попадает только $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Также при $$4x-3-x^2=0$$ получаем $$x=1$$ и $$x=3$$.
Итак, $$x=1,\;\frac{\pi}{2},\;3.$$
- $$\tg x\cdot \sqrt{9-4x^2}=0$$
1) $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
2) Область определения корня:
$$9-4x^2\ge 0 \Rightarrow 4x^2\le 9 \Rightarrow -\frac{3}{2}\le x\le \frac{3}{2}.$$
Из значений $$x=\pi n$$ в этот промежуток попадает только $$x=0.$$
Также при $$9-4x^2=0$$ получаем $$x=\pm \frac{3}{2}.$$
Итак, $$x=-\frac{3}{2},\;0,\;\frac{3}{2}.$$
- $$\cos x\cdot \sqrt{9-x^2}=0$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
2) Область определения корня:
$$9-x^2\ge 0 \Rightarrow x^2\le 9 \Rightarrow -3\le x\le 3.$$
Из значений $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ в этот промежуток попадают $$x=-\frac{\pi}{2}$$ и $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Также при $$9-x^2=0$$ получаем $$x=\pm 3.$$
Итак, $$x=-3,\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2},\;3.$$
- $$\sin x\cdot \sqrt{5x-2-2x^2}=0$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
2) Область определения корня:
$$5x-2-2x^2\ge 0 \Rightarrow 2x^2-5x+2\le 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=25-16=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},\quad x_1=\frac12,\; x_2=2.$$Тогда
$$\left(x-\frac12\right)(x-2)\le 0 \Rightarrow \frac12\le x\le 2.$$
Из значений $$x=\pi n$$ в этот промежуток попадает только $$x=\pi\approx 3{,}14$$ не подходит, значит решений от первого множителя нет.
При $$5x-2-2x^2=0$$ получаем $$x=\frac12$$ и $$x=2.$$
Итак, $$x=\frac12,\;2.$$
- $$\ctg x\cdot \sqrt{16-x^2}=0$$
1) $$\ctg x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
2) Область определения корня:
$$16-x^2\ge 0 \Rightarrow x^2\le 16 \Rightarrow -4\le x\le 4.$$
Из значений $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ в этот промежуток попадают $$x=-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}.$$
Также при $$16-x^2=0$$ получаем $$x=\pm 4.$$
Итак, $$x=-4,\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2},\;4.$$
Ответ
а) $$-2,\;0,\;2$$; б) $$1,\;\frac{\pi}{2},\;3$$; в) $$-\frac{3}{2},\;0,\;\frac{3}{2}$$; г) $$-3,\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2},\;3$$; д) $$\frac12,\;2$$; е) $$-4,\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2},\;4$$.
