Упр.9.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\sin(2x)+\sin(x)=\sin(3x)$$;

б) $$\sin(x)+\sin(5x)=1-2\sin^2(x)$$;

в) $$\cos(3x)=\cos(5x)+\sin(4x)$$;

г) $$2\cos^2(x)-\sin(3x)=1+\sin(7x)$$.

1. а) $$\sin 2x+\sin x=\sin 3x$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и преобразуем правую часть:

   $$\sin 2x+\sin x-\sin 3x=0$$
   $$2\sin x\cos x+\sin x-\bigl(3\sin x-4\sin^3 x\bigr)=0$$
   $$2\sin x\cos x-2\sin x+4\sin^3 x=0$$
   $$2\sin x\bigl(\cos x-1+2\sin^2 x\bigr)=0$$
   $$2\sin x\bigl(\cos x-1+2(1-\cos^2 x)\bigr)=0$$
   $$2\sin x(\cos x-1)(2\cos x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

   Получаем:

   $$x=\pi n,\quad x=2\pi n,\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$x=2\pi n$$ входит в множество $$x=\pi n$$, окончательно:

   $$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sin x+\sin 5x=1-2\sin^2 x$$

   Преобразуем левую часть и правую часть:

   $$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x,$$
   $$1-2\sin^2 x=\cos 2x.$$

   Тогда

   $$2\sin 3x\cos 2x=\cos 2x$$
   $$\cos 2x(2\sin 3x-1)=0.$$

   Следовательно,

   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=\frac12.$$

   $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

   $$\sin 3x=\frac12 \Rightarrow 3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}.$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\cos 3x=\cos 5x+\sin 4x$$

   Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

   $$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$
   $$2\sin 4x\sin x=\sin 4x$$
   $$\sin 4x(2\sin x-1)=0.$$

   Отсюда:

   $$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

   $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}.$$

   $$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   $$x=\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$2\cos^2 x-\sin 3x=1+\sin 7x$$

   Преобразуем:

   $$2\cos^2 x-1=\sin 7x+\sin 3x$$
   $$\cos 2x=2\sin 5x\cos 2x$$
   $$\cos 2x(2\sin 5x-1)=0.$$

   Следовательно,

   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=\frac12.$$

   $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

   $$\sin 5x=\frac12 \Rightarrow 5x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5}.$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ (-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\frac{\pi n}{4},\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ (-1)^n\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z$$.