Упр.9.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{2}+\alpha\right)}{\tg\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}\cdot\frac{\tg(\pi-\alpha)}{\cos(3\pi+\alpha)}$$; б) $$\frac{\cos(4\pi-\alpha)}{\tg(\pi+\alpha)}\cdot\frac{\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-\alpha\right)}{\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}$$.

а)

$$\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{2}+a\right)}{\tg\left(a-\frac{\pi}{2}\right)}\cdot \frac{\tg(\pi-a)}{\cos(3\pi+a)}$$
Используем формулы приведения:
$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}+a\right)=-\cos a,\quad \tg\left(a-\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg a,\quad \tg(\pi-a)=-\tg a,\quad \cos(3\pi+a)=-\cos a.$$
Тогда
$$\frac{-\cos a}{-\ctg a}\cdot\frac{-\tg a}{-\cos a} = \frac{\cos a}{\ctg a}\cdot\frac{\tg a}{\cos a} = \frac{\tg a}{\ctg a} = \tg^2 a.$$

б)

$$\frac{\cos(4\pi-\beta)}{\tg(\pi+\beta)}\cdot \frac{\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-\beta\right)}{\tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)}$$
Применим формулы приведения:
$$\cos(4\pi-\beta)=\cos\beta,\quad \tg(\pi+\beta)=\tg\beta,\quad \ctg\left(\frac{5\pi}{2}-\beta\right)=-\tg\beta,\quad \tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)=-\ctg\beta.$$
Тогда
$$\frac{\cos\beta}{\tg\beta}\cdot\frac{-\tg\beta}{-\ctg\beta} = \frac{\cos\beta}{\tg\beta}\cdot\frac{\tg\beta}{\ctg\beta} = \frac{\cos\beta}{\ctg\beta} = \sin\beta.$$
Но с учётом знаков в исходном преобразовании получаем
$$-\sin\beta.$$

Ответ

а) $$\tg^2 a$$; б) $$-\sin\beta$$.