Упр.9.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Найдите множество точек координатной плоскости xOy, из которых парабола y = x^2 видна под прямым углом.

Пусть искомая точка имеет координаты $$A(a;b)$$. Проведём к параболе $$y=x^2$$ касательные в точках с абсциссами $$x=a$$ и $$x=b$$.

Уравнение касательной к графику $$y=x^2$$ в точке $$x=a$$:

$$y’=2x,\quad y'(a)=2a,\quad y(a)=a^2,$$

$$y=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2.$$

Аналогично, касательная в точке $$x=b$$ имеет вид

$$y=2bx-b^2.$$

Так как парабола видна под прямым углом, эти касательные перпендикулярны. Тогда их угловые коэффициенты удовлетворяют условию

$$2a\cdot 2b=-1,$$

откуда

$$4ab=-1,\quad b=-\frac{1}{4a}.$$

Точка $$A(a;b)$$ лежит на обеих касательных, значит, их уравнения приравниваем:

$$2ax-a^2=2bx-b^2.$$

Преобразуем:

$$2x(a-b)=(a-b)(a+b).$$

Так как $$a\ne b$$, получаем

$$2x=a+b,$$

$$x=\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}-\frac{1}{8a}.$$

Подставим это в уравнение касательной:

$$y=2a\left(\frac{a}{2}-\frac{1}{8a}\right)-a^2=a^2-\frac14-a^2=-\frac14.$$

Следовательно, все такие точки лежат на прямой

$$y=-\frac14.$$

Ответ

$$y=-\frac14.$$