Упр.9.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Составьте уравнение тех касательных к графику функции y = x^3, которые отсекают от осей координат треугольник площадью 2/3.

Пусть касательная к графику функции $$y=x^3$$ проведена в точке с абсциссой $$x=a$$. Тогда

$$y’ = 3x^2,\qquad y'(a)=3a^2,\qquad y(a)=a^3.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^3+3a^2(x-a)=3a^2x-2a^3.$$

Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат.

С осью $$Ox$$:

$$3a^2x-2a^3=0,\qquad x=\frac{2a}{3}.$$

С осью $$Oy$$:

$$x=0,\qquad y=-2a^3.$$

Площадь треугольника, отсекаемого осями координат и касательной:

$$S=\frac12\left|\frac{2a}{3}\right|\cdot|-2a^3|=\frac23a^4.$$

По условию $$S=\frac23$$, значит

$$\frac23a^4=\frac23,\qquad a^4=1,\qquad a=\pm1.$$

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

при $$a=1$$: $$y=3x-2$$;
при $$a=-1$$: $$y=3x+2$$.

Ответ

$$y=3x-2,\qquad y=3x+2.$$