Упр.9.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 2sin(2x)+3tg(x)=5; б) v(1-sin(4x))=v6cos(2x).

Пусть $$y=\frac{1}{x}$$, $$M\left(a;\frac{1}{a}\right)$$, где $$a\ne 0$$.

Найдём уравнение касательной к графику функции в точке $$M$$:

$$y’=-\frac{1}{x^2}, \qquad y'(a)=-\frac{1}{a^2}.$$

Тогда уравнение касательной:
$$ y-\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^2}(x-a). $$

Преобразуем:

$$ y=\frac{1}{a}-\frac{x-a}{a^2}=\frac{2a-x}{a^2}. $$

Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат.

С осью абсцисс:

$$ \frac{2a-x}{a^2}=0 \;\Rightarrow\; x=2a. $$
Значит, $$A(2a;0)$$.

С осью ординат:

$$ y(0)=\frac{2a}{a^2}=\frac{2}{a}. $$
Значит, $$B\left(0;\frac{2}{a}\right)$$.

Проверим, что прямая $$AB$$ и есть касательная. Для треугольников $$OMA$$ и $$OMB$$:

$$ OM=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}, \qquad OA=2|a|, \qquad OB=\frac{2}{|a|}. $$

Но достаточно заметить, что точки $$A$$ и $$B$$ лежат на найденной касательной, значит прямая $$AB$$ совпадает с ней. Следовательно, касательную к гиперболе можно построить указанным способом.

Решим уравнения.

а)

$$ 2\sin 2x+3\tg x=5. $$

Используем формулу $$\sin 2x=\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}$$:

$$ \frac{4\tg x}{1+\tg^2 x}+3\tg x=5. $$

Умножим на $$1+\tg^2 x$$:

$$ 4\tg x+3\tg x+3\tg^3 x=5+5\tg^2 x. $$

$$ 3\tg^3 x-5\tg^2 x+7\tg x-5=0. $$

Разложим на множители:

$$ (\tg x-1)(3\tg^2 x-2\tg x+5)=0. $$

Второй множитель действительных корней не имеет, так как

$$ D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 5=4-60<0. $$

Значит,

$$ \tg x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б)

$$ \sqrt{1-\sin 4x}=\sqrt{6}\cos 2x. $$

Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$\cos 2x\ge 0$$.

Возведём обе части в квадрат:

$$ 1-\sin 4x=6\cos^2 2x. $$

Используем формулы $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$ и $$1=\sin^2 2x+\cos^2 2x$$:

$$ \sin^2 2x+\cos^2 2x-2\sin 2x\cos 2x=6\cos^2 2x. $$

$$ \sin^2 2x-2\sin 2x\cos 2x-5\cos^2 2x=0. $$

Делим на $$\cos^2 2x$$, учитывая $$\cos 2x\ne 0$$:

$$ \tg^2 2x-2\tg 2x-5=0. $$

$$ D=4+20=24, $$

$$ \tg 2x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=1\pm\sqrt{6}. $$

Тогда

$$ 2x=\arctg(1\pm\sqrt6)+\pi n, $$

$$ x=\frac12\arctg(1\pm\sqrt6)+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

С учётом условия $$\cos 2x\ge 0$$ получаем подходящие решения:

$$ x=\frac12\arctg(1\pm\sqrt6)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

Касательную можно построить способом, указанным в условии.
а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac12\arctg(1\pm\sqrt6)+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$