Упр.9.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Докажите, что касательную к гиперболе $$y=\frac{1}{x}$$ в точке $$M\left(a;\frac{1}{a}\right)$$ можно построить таким способом:
1) провести окружность с центром в точке $$M$$ радиусом $$OM$$, которая пересечёт оси абсцисс и ординат соответственно в точках $$A$$ и $$B$$;
2) провести прямую $$AB$$, которая и будет искомой касательной. - Решите уравнение:
а) $$2\sin(2x)+3\tan(x)=5$$;
б) $$\sqrt{1-\sin(4x)}=\sqrt{6}\cos(2x)$$.
Пусть $$y=\frac{1}{x}$$, $$M\left(a;\frac{1}{a}\right)$$, где $$a\ne 0$$.
Найдём уравнение касательной к графику функции в точке $$M$$:
$$y’=-\frac{1}{x^2}, \qquad y'(a)=-\frac{1}{a^2}.$$
Тогда уравнение касательной:
$$y-\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^2}(x-a).$$
Преобразуем:
$$y=\frac{1}{a}-\frac{x-a}{a^2}=\frac{2a-x}{a^2}.$$
Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат.
С осью абсцисс:
$$\frac{2a-x}{a^2}=0 \;\Rightarrow\; x=2a.$$
Значит, $$A(2a;0)$$.
С осью ординат:
$$y(0)=\frac{2a}{a^2}=\frac{2}{a}.$$
Значит, $$B\left(0;\frac{2}{a}\right)$$.
Проверим, что прямая $$AB$$ и есть касательная. Для треугольников $$OMA$$ и $$OMB$$:
$$OM=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}, \qquad OA=2|a|, \qquad OB=\frac{2}{|a|}.$$
Но достаточно заметить, что точки $$A$$ и $$B$$ лежат на найденной касательной, значит прямая $$AB$$ совпадает с ней. Следовательно, касательную к гиперболе можно построить указанным способом.
Решим уравнения.
а)
$$2\sin 2x+3\tg x=5.$$
Используем формулу $$\sin 2x=\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}$$:
$$\frac{4\tg x}{1+\tg^2 x}+3\tg x=5.$$
Умножим на $$1+\tg^2 x$$:
$$4\tg x+3\tg x+3\tg^3 x=5+5\tg^2 x.$$
$$3\tg^3 x-5\tg^2 x+7\tg x-5=0.$$
Разложим на множители:
$$(\tg x-1)(3\tg^2 x-2\tg x+5)=0.$$
Второй множитель действительных корней не имеет, так как
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 5=4-60<0.$$
Значит,
$$\tg x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б)
$$\sqrt{1-\sin 4x}=\sqrt{6}\cos 2x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$\cos 2x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$1-\sin 4x=6\cos^2 2x.$$
Используем формулы $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$ и $$1=\sin^2 2x+\cos^2 2x$$:
$$\sin^2 2x+\cos^2 2x-2\sin 2x\cos 2x=6\cos^2 2x.$$
$$\sin^2 2x-2\sin 2x\cos 2x-5\cos^2 2x=0.$$
Делим на $$\cos^2 2x$$, учитывая $$\cos 2x\ne 0$$:
$$\tg^2 2x-2\tg 2x-5=0.$$
$$D=4+20=24,$$
$$\tg 2x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=1\pm\sqrt{6}.$$
Тогда
$$2x=\arctg(1\pm\sqrt6)+\pi n,$$
$$x=\frac12\arctg(1\pm\sqrt6)+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
С учётом условия $$\cos 2x\ge 0$$ получаем подходящие решения:
$$x=\frac12\arctg(1\pm\sqrt6)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
Касательную можно построить способом, указанным в условии.
а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac12\arctg(1\pm\sqrt6)+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
