Упр.9.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Составьте уравнение касательной к графику функции в точке x = a, a > 0.
б) Найдите точку пересечения касательной с осью абсцисс.
в) Докажите, что длина подкасательной в 2 раза больше абсциссы точки касания.
г) Объясните, как с помощью циркуля и линейки построить касательную к графику функции y = vx в точке x = a, a > 0. Решите уравнение:
а) sin(2x)+sin(x)=sin(3x);
б) sin(x)+sin(5x)=1-2sin^2(x);
в) cos(3x)=cos(5x)+sin(4x);
г) 2cos^2(x)-sin(3x)=1+sin(7x).

Пусть $$f(x)=\sqrt{x}, \quad a>0.$$ Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad f(a)=\sqrt{a}, \qquad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}.$$

а) Уравнение касательной в точке $$x=a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\sqrt{a}+\frac{x-a}{2\sqrt{a}}=\frac{x+a}{2\sqrt{a}}.$$

б) Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс:

$$\frac{x+a}{2\sqrt{a}}=0 \;\Rightarrow\; x+a=0 \;\Rightarrow\; x=-a.$$

Значит, точка пересечения имеет координаты $$(-a,0).$$

в) Длина подкасательной равна расстоянию от точки касания до точки пересечения касательной с осью абсцисс:

$$l=a-(-a)=2a.$$

Абсцисса точки касания равна $$a$$, значит, длина подкасательной в 2 раза больше абсциссы точки касания.

г) Для построения касательной нужно:

• отметить на оси абсцисс точки $$a$$ и $$-a$$;
• в точке $$a$$ восстановить перпендикуляр к оси абсцисс;
• через точки $$\bigl(a,\sqrt{a}\bigr)$$ и $$(-a,0)$$ провести прямую — это и есть касательная.

Теперь решим уравнения.

а)

$$\sin 2x+\sin x=\sin 3x$$

$$\sin 2x=\sin 3x-\sin x$$

$$2\sin x\cos x=2\sin x\cos 2x$$

$$2\sin x(\cos x-\cos 2x)=0$$

$$2\sin x\left(-2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

$$\sin\frac{3x}{2}=0 \Rightarrow \frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3},$$

$$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n.$$

Так как $$x=2\pi n$$ входит в решение $$x=\pi n,$$ получаем

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi n}{3}, \qquad n\in\mathbb{Z}.$$

б)

$$\sin x+\sin 5x=1-2\sin^2 x$$

$$\sin x+\sin 5x=\cos 2x$$

$$2\sin 3x\cos 2x=\cos 2x$$

$$\cos 2x\,(2\sin 3x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$

$$2\sin 3x-1=0 \Rightarrow \sin 3x=\frac12.$$

Тогда

$$3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}.$$

в)

$$\cos 3x=\cos 5x+\sin 4x$$

$$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$

$$2\sin x\sin 4x=\sin 4x$$

$$\sin 4x\,(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4},$$

$$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

г)

$$2\cos^2 x-\sin 3x=1+\sin 7x$$

$$2\cos^2 x-1=\sin 7x+\sin 3x$$

$$\cos 2x=2\sin 5x\cos 2x$$

$$\cos 2x\,(2\sin 5x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$

$$2\sin 5x-1=0 \Rightarrow \sin 5x=\frac12.$$

Тогда

$$5x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5}.$$

Ответ

а) $$y=\frac{x+a}{2\sqrt{a}}$$; точка пересечения с осью абсцисс: $$(-a,0)$$; $$l=2a$$.

б) $$x=\pi n$$ или $$x=\frac{2\pi n}{3}, \; n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}, \; n\in\mathbb{Z}.$$

г) $$x=\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n, \; n\in\mathbb{Z}.$$

д) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=(-1)^n\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5}, \; n\in\mathbb{Z}.$$