Упр.9.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Дана функция $$y=vx$$.
а) Составьте уравнение касательной к графику функции в точке $$x=a$$, $$a>0$$.
б) Найдите точку пересечения касательной с осью абсцисс.
в) Докажите, что длина подкасательной в $$2$$ раза больше абсциссы точки касания.
г) Объясните, как с помощью циркуля и линейки построить касательную к графику функции $$y=vx$$ в точке $$x=a$$, $$a>0$$. - Задание учебника 2022 года. Решите уравнение:
а) $$\sin(2x)+\sin(x)=\sin(3x)$$;
б) $$\sin(x)+\sin(5x)=1-2\sin^2(x)$$;
в) $$\cos(3x)=\cos(5x)+\sin(4x)$$;
г) $$2\cos^2(x)-\sin(3x)=1+\sin(7x)$$.
Пусть $$f(x)=\sqrt{x}, \quad a>0.$$ Тогда
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad f(a)=\sqrt{a}, \qquad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}.$$
а) Уравнение касательной в точке $$x=a$$:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\sqrt{a}+\frac{x-a}{2\sqrt{a}}=\frac{x+a}{2\sqrt{a}}.$$
б) Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс:
$$\frac{x+a}{2\sqrt{a}}=0 \;\Rightarrow\; x+a=0 \;\Rightarrow\; x=-a.$$
Значит, точка пересечения имеет координаты $$(-a,0).$$
в) Длина подкасательной равна расстоянию от точки касания до точки пересечения касательной с осью абсцисс:
$$l=a-(-a)=2a.$$
Абсцисса точки касания равна $$a$$, значит, длина подкасательной в 2 раза больше абсциссы точки касания.
г) Для построения касательной нужно:
- отметить на оси абсцисс точки $$a$$ и $$-a$$;
- в точке $$a$$ восстановить перпендикуляр к оси абсцисс;
- через точки $$\bigl(a,\sqrt{a}\bigr)$$ и $$(-a,0)$$ провести прямую — это и есть касательная.
Теперь решим уравнения.
а)
$$\sin 2x+\sin x=\sin 3x$$
$$\sin 2x=\sin 3x-\sin x$$
$$2\sin x\cos x=2\sin x\cos 2x$$
$$2\sin x(\cos x-\cos 2x)=0$$
$$2\sin x\left(-2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}\right)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
$$\sin\frac{3x}{2}=0 \Rightarrow \frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3},$$
$$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n.$$
Так как $$x=2\pi n$$ входит в решение $$x=\pi n,$$ получаем
$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi n}{3}, \qquad n\in\mathbb{Z}.$$
б)
$$\sin x+\sin 5x=1-2\sin^2 x$$
$$\sin x+\sin 5x=\cos 2x$$
$$2\sin 3x\cos 2x=\cos 2x$$
$$\cos 2x\,(2\sin 3x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$
$$2\sin 3x-1=0 \Rightarrow \sin 3x=\frac12.$$
Тогда
$$3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}.$$
в)
$$\cos 3x=\cos 5x+\sin 4x$$
$$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$
$$2\sin x\sin 4x=\sin 4x$$
$$\sin 4x\,(2\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4},$$
$$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
г)
$$2\cos^2 x-\sin 3x=1+\sin 7x$$
$$2\cos^2 x-1=\sin 7x+\sin 3x$$
$$\cos 2x=2\sin 5x\cos 2x$$
$$\cos 2x\,(2\sin 5x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$
$$2\sin 5x-1=0 \Rightarrow \sin 5x=\frac12.$$
Тогда
$$5x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5}.$$
Ответ
а) $$y=\frac{x+a}{2\sqrt{a}}$$; точка пересечения с осью абсцисс: $$(-a,0)$$; $$l=2a$$.
б) $$x=\pi n$$ или $$x=\frac{2\pi n}{3}, \; n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}, \; n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$x=\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n, \; n\in\mathbb{Z}.$$
д) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=(-1)^n\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5}, \; n\in\mathbb{Z}.$$
