Упр.9.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Пусть $$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$ — уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ при $$x=a$$ и пусть $$(b;0)$$ — точка пересечения касательной с осью $$Ox$$. Отрезок оси $$Ox$$ между точками $$(b;0)$$ и $$(a;0)$$ называют подкасательной при $$x=a$$ (рис. 54). Докажите, что для функции $$y=f(x)$$, производная которой нигде не обращается в нуль, длина подкасательной при $$x=a$$ равна $$\left|\frac{f(a)}{f'(a)}\right|$$.
- Упростите выражение:
а) $$\frac{\sin\left(\frac{7?}{2}+?\right)}{\mathrm{tg}\left(?-\frac{?}{2}\right)}\cdot\frac{\mathrm{tg}(?-?)}{\cos(3?+?)}$$;
б) $$\frac{\cos(4?-?)}{\mathrm{tg}(?+?)}\cdot\frac{\mathrm{ctg}\left(\frac{5?}{2}-?\right)}{\mathrm{tg}\left(\frac{?}{2}+?\right)}$$.
Пусть уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x=a$$ имеет вид
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
Точка пересечения касательной с осью $$Ox$$ имеет координаты $$\left(b;0\right)$$. Тогда
$$f(a)+f'(a)(b-a)=0.$$
Отсюда
$$f'(a)(b-a)=-f(a),$$
$$b-a=-\frac{f(a)}{f'(a)},$$
$$b=a-\frac{f(a)}{f'(a)}.$$
Длина подкасательной равна расстоянию между точками $$\left(a;0\right)$$ и $$\left(b;0\right)$$:
$$l=\lvert b-a\rvert=\left|-\frac{f(a)}{f'(a)}\right|=\left|\frac{f(a)}{f'(a)}\right|.$$
Что и требовалось доказать.
Упростим выражения.
а)
$$\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{2}+a\right)}{\tg\left(a-\frac{\pi}{2}\right)}\cdot\frac{\tg(\pi-a)}{\cos(3\pi+a)}$$
Используем формулы приведения:
$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}+a\right)=-\cos a,$$
$$\tg\left(a-\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg a,$$
$$\tg(\pi-a)=-\tg a,$$
$$\cos(3\pi+a)=-\cos a.$$
Тогда
$$\frac{-\cos a}{-\ctg a}\cdot\frac{-\tg a}{-\cos a}=\frac{\cos a}{\ctg a}\cdot\frac{\tg a}{\cos a}=\frac{\tg a}{\ctg a}=\tg^2 a.$$
б)
$$\frac{\cos(4\pi-\beta)}{\tg(\pi+\beta)}\cdot\frac{\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-\beta\right)}{\tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)}$$
Используем формулы приведения:
$$\cos(4\pi-\beta)=\cos\beta,$$
$$\tg(\pi+\beta)=\tg\beta,$$
$$\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-\beta\right)=\tg\beta,$$
$$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)=-\ctg\beta.$$
Тогда
$$\frac{\cos\beta}{\tg\beta}\cdot\frac{\tg\beta}{-\ctg\beta}=-\frac{\cos\beta}{\ctg\beta}=-\sin\beta.$$
Ответ
$$\left|\frac{f(a)}{f'(a)}\right|;\quad \text{а) } \tg^2 a;\quad \text{б) } -\sin\beta.$$
