Упр.9.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) sin(7?/2+?)/tg(?-?/2)·tg(?-?)/cos(3?+?);
б) cos(4?-?)/tg(?+?)·ctg(5?/2-?)/tg(?/2+?).

Пусть уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x=a$$ имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Точка пересечения касательной с осью $$Ox$$ имеет координаты $$\left(b;0\right)$$. Тогда

$$f(a)+f'(a)(b-a)=0.$$

Отсюда

$$f'(a)(b-a)=-f(a),$$

$$b-a=-\frac{f(a)}{f'(a)},$$

$$b=a-\frac{f(a)}{f'(a)}.$$

Длина подкасательной равна расстоянию между точками $$\left(a;0\right)$$ и $$\left(b;0\right)$$:

$$l=\lvert b-a\rvert=\left|-\frac{f(a)}{f'(a)}\right|=\left|\frac{f(a)}{f'(a)}\right|.$$

Что и требовалось доказать.

Упростим выражения.

а)

$$\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{2}+a\right)}{\tg\left(a-\frac{\pi}{2}\right)}\cdot\frac{\tg(\pi-a)}{\cos(3\pi+a)}$$

Используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}+a\right)=-\cos a,$$

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg a,$$

$$\tg(\pi-a)=-\tg a,$$

$$\cos(3\pi+a)=-\cos a.$$

Тогда

$$\frac{-\cos a}{-\ctg a}\cdot\frac{-\tg a}{-\cos a}=\frac{\cos a}{\ctg a}\cdot\frac{\tg a}{\cos a}=\frac{\tg a}{\ctg a}=\tg^2 a.$$

б)

$$\frac{\cos(4\pi-\beta)}{\tg(\pi+\beta)}\cdot\frac{\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-\beta\right)}{\tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)}$$

Используем формулы приведения:

$$\cos(4\pi-\beta)=\cos\beta,$$

$$\tg(\pi+\beta)=\tg\beta,$$

$$\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-\beta\right)=\tg\beta,$$

$$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)=-\ctg\beta.$$

Тогда

$$\frac{\cos\beta}{\tg\beta}\cdot\frac{\tg\beta}{-\ctg\beta}=-\frac{\cos\beta}{\ctg\beta}=-\sin\beta.$$

Ответ

$$\left|\frac{f(a)}{f'(a)}\right|;\quad \text{а) } \tg^2 a;\quad \text{б) } -\sin\beta.$$