Упр.9.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите значение параметра $$p$$, при котором прямая $$y=x+p$$ касается параболы $$y=x^2$$.
   б) Найдите значение параметра $$p$$, при котором прямая $$y=0{,}5x+p$$ касается графика функции $$y=vx$$.

а) Прямая $$y=x+p$$ касается параболы $$y=x^2$$, значит, уравнение их пересечения имеет один корень:

$$x^2=x+p$$

$$x^2-x-p=0$$

Для касания дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-p)=1+4p=0$$

$$p=-\frac14=-0{,}25$$

б) Прямая $$y=0{,}5x+p$$ касается графика функции $$y=\sqrt{x}$$. В точке касания их угловые коэффициенты равны.

Найдём производную:

$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

При касании:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=0{,}5$$

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac12$$

$$\sqrt{x}=1,\quad x=1$$

Тогда $$y=\sqrt{1}=1$$. Подставим точку $$\left(1;1\right)$$ в уравнение прямой:

$$1=0{,}5\cdot 1+p$$

$$p=0{,}5$$

Ответ

а) $$-0{,}25$$; б) $$0{,}5$$.