Упр.9.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) A(0; -1/4); в) A(0; -1/12);
б) A(0; -9); г) A(0; -16).

Пусть касательная к графику $$y=x^2$$ проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда

$$y'(a)=2a,$$

а уравнение касательной имеет вид

$$y=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2.$$

Если точка $$A(0;y_0)$$ лежит на обеих касательных, то для их абсцисс касания получаем

$$y_0=-a^2.$$

Угловые коэффициенты касательных равны $$k_1=2a$$ и $$k_2=-2a$$, поэтому

$$\tan \frac{\alpha}{2}=\left|k_1\right|=\left|2a\right|.$$

1. $$A\left(0;-\frac14\right)$$

   $$a^2=\frac14,\quad a=\pm \frac12.$$

   Тогда

   $$\tan \frac{\alpha}{2}=1,$$

   значит

   $$\frac{\alpha}{2}=45^\circ,\quad \alpha=90^\circ.$$

2. $$A(0;-9)$$

   $$a^2=9,\quad a=\pm 3.$$

   Тогда

   $$\tan \frac{\alpha}{2}=6,$$

   значит

   $$\alpha=2\arctan 6.$$

3. $$A\left(0;-\frac{1}{12}\right)$$

   $$a^2=\frac{1}{12},\quad a=\pm \frac{1}{2\sqrt3}.$$

   Тогда

   $$\tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt3,$$

   значит

   $$\frac{\alpha}{2}=60^\circ,\quad \alpha=120^\circ.$$

4. $$A(0;-16)$$

   $$a^2=16,\quad a=\pm 4.$$

   Тогда

   $$\tan \frac{\alpha}{2}=8,$$

   значит

   $$\alpha=2\arctan \frac18.$$

Ответ

а) $$90^\circ$$; б) $$2\arctan 6$$; в) $$120^\circ$$; г) $$2\arctan \frac18$$.