Упр.9.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Составьте уравнение касательной к графику функции y=vx, проходящей через точку Р(0; 2).

а) Для функции $$y=x^2$$ возьмём точку касания с абсциссой $$a$$. Тогда

$$y(a)=a^2,\qquad y'(a)=2a.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^2+2a(x-a).$$

Так как касательная проходит через точку $$M(0;-9)$$, подставим её координаты:

$$-9=a^2+2a(0-a)=a^2-2a^2=-a^2.$$

Отсюда

$$a^2=9,\qquad a=\pm 3.$$

При $$a=3$$ получаем

$$y=9+6(x-3)=6x-9.$$

При $$a=-3$$ получаем

$$y=9-6(x+3)=-6x-9.$$

Значит, подходят две касательные:

$$y=6x-9 \quad \text{и} \quad y=-6x-9.$$

б) Для функции $$y=\sqrt{x}$$ возьмём точку касания с абсциссой $$a$$. Тогда

$$y(a)=\sqrt{a},\qquad y'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a).$$

Упростим:

$$y=\sqrt{a}+\frac{x}{2\sqrt{a}}-\frac{a}{2\sqrt{a}}=\frac{x}{2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{2}.$$

Так как касательная проходит через точку $$P(0;2)$$, подставим её координаты:

$$2=\frac{0}{2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{2}.$$

Тогда

$$\sqrt{a}=4,\qquad a=16.$$

Подставим это в уравнение касательной:

$$y=\frac{x}{2\cdot 4}+\frac{4}{2}=\frac{x}{8}+2.$$

Ответ

а) $$y=6x-9$$ или $$y=-6x-9$$;

б) $$y=\frac{x}{8}+2$$.