Упр.9.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$, параллельной заданной прямой:

а) $$f(x)=x^3$$, $$y=3x-5$$;
г) $$f(x)=x^2$$, $$y=-2x+1$$;
б) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$y=1-4x$$;
д) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$y=-x+6$$;
в) $$f(x)=vx$$, $$y=x+1$$;
е) $$f(x)=vx$$, $$y=\frac{1}{4}x-3$$.

Подробный ответ

а) $$f(x)=x^3,\quad y=3x-5.$$
У касательной угловой коэффициент равен $$3$$, значит
$$f'(x)=3x^2=3,$$
откуда $$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
При $$x=-1$$: $$f(-1)=-1,$$ тогда
$$y=-1+3(x+1)=3x+2.$$
При $$x=1$$: $$f(1)=1,$$ тогда
$$y=1+3(x-1)=3x-2.$$
б) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad y=1-4x.$$
У касательной угловой коэффициент равен $$-4,$$ значит
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}=-4,$$
откуда $$x^2=\frac14,\quad x=\pm \frac12.$$
При $$x=-\frac12$$: $$f\!\left(-\frac12\right)=-2,$$ тогда
$$y=-2-4\left(x+\frac12\right)=-4x-4.$$
При $$x=\frac12$$: $$f\!\left(\frac12\right)=2,$$ тогда
$$y=2-4\left(x-\frac12\right)=-4x+4.$$
в) $$f(x)=\sqrt{x},\quad y=x+1.$$
У касательной угловой коэффициент равен $$1,$$ значит
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}=1,$$
откуда $$\sqrt{x}=\frac12,\quad x=\frac14.$$
Тогда $$f\!\left(\frac14\right)=\frac12,$$ и
$$y=\frac12+1\left(x-\frac14\right)=x+\frac14.$$
г) $$f(x)=x^2,\quad y=-2x+1.$$
У касательной угловой коэффициент равен $$-2,$$ значит
$$f'(x)=2x=-2,\quad x=-1.$$
Тогда $$f(-1)=1,$$ и
$$y=1-2(x+1)=-2x-1.$$
д) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad y=-x+6.$$
У касательной угловой коэффициент равен $$-1,$$ значит
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}=-1,$$
откуда $$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
При $$x=-1$$: $$f(-1)=-1,$$ тогда
$$y=-1-(x+1)=-x-2.$$
При $$x=1$$: $$f(1)=1,$$ тогда
$$y=1-(x-1)=-x+2.$$
е) $$f(x)=\sqrt{x},\quad y=\frac14x-3.$$
У касательной угловой коэффициент равен $$\frac14,$$ значит
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac14,$$
откуда $$\sqrt{x}=2,\quad x=4.$$
Тогда $$f(4)=2,$$ и
$$y=2+\frac14(x-4)=\frac14x+1.$$