Упр.9.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите абсциссу точки касания, если известно, что касательная к графику функции $$y=f(x)$$ параллельна указанной прямой: а) $$f(x)=x^3$$, $$y=-2$$; б) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$y=5-x$$; в) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$y=0{,}5x+1$$; г) $$f(x)=x^2$$, $$y=1$$; д) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$y=3-4x$$; е) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$y=x-3$$.

1. а) $$f(x)=x^3,\quad y=-2$$

   У касательной угловой коэффициент равен производной функции в точке касания. Прямая $$y=-2$$ горизонтальна, значит её наклон равен $$0$$.

   $$f'(x)=3x^2$$
   $$3x^2=0$$
   $$x=0$$

2. б) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad y=5-x$$

   У прямой $$y=5-x$$ угловой коэффициент равен $$-1$$.

   $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$
   $$-\frac{1}{x^2}=-1$$
   $$x^2=1$$
   $$x=\pm 1$$

3. в) $$f(x)=\sqrt{x},\quad y=0{,}5x+1$$

   У прямой угловой коэффициент равен $$0{,}5$$.

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=0{,}5$$
   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$$
   $$\sqrt{x}=1$$
   $$x=1$$

4. г) $$f(x)=x^2,\quad y=1$$

   Прямая $$y=1$$ горизонтальна, значит её наклон равен $$0$$.

   $$f'(x)=2x$$
   $$2x=0$$
   $$x=0$$

5. д) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad y=3-4x$$

   У прямой угловой коэффициент равен $$-4$$.

   $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$
   $$-\frac{1}{x^2}=-4$$
   $$\frac{1}{x^2}=4$$
   $$x^2=\frac{1}{4}$$
   $$x=\pm \frac{1}{2}$$

6. е) $$f(x)=\sqrt{x},\quad y=x-3$$

   У прямой угловой коэффициент равен $$1$$.

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$
   $$2\sqrt{x}=1$$
   $$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$
   $$x=\frac{1}{4}$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$-1,\,1$$; в) $$1$$; г) $$0$$; д) $$-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}$$; е) $$\frac{1}{4}$$.