Упр.8.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Докажем формулу производной обратной функции.

Пусть $$y=\frac{1}{f(x)}.$$ Тогда

$$\Delta y=\frac{1}{f(x+\Delta x)}-\frac{1}{f(x)} =\frac{f(x)-f(x+\Delta x)}{f(x)\,f(x+\Delta x)}.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{1}{f(x)}\right)’=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot f(x)\cdot f(x+\Delta x)}.$$

Вынесем знак минус:

$$\left(\frac{1}{f(x)}\right)’= -\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot \frac{1}{f(x)\,f(x+\Delta x)}.$$

При $$\Delta x\to 0$$ получаем $$f(x+\Delta x)\to f(x)$$, поэтому

$$\left(\frac{1}{f(x)}\right)’=-f'(x)\cdot \frac{1}{f^2(x)}=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}.$$

б) Найдём производные функций.

$$y=\frac{1}{x^2}=x^{-2}, \qquad y’=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3};$$

$$y=\frac{1}{x^3}=x^{-3}, \qquad y’=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4};$$

$$y=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac12}, \qquad y’=-\frac12 x^{-\frac32}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$$

в) Известно, что

$$\cos a=-\frac{8}{17}, \qquad \frac{\pi}{2}

Найдём синусы и тангенсы:

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17},$$
$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2 \beta}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{15/17}{-8/17}=-\frac{15}{8}, \qquad \tg \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.$$

Теперь вычислим значения выражений:

$$\sin(a-\beta)=\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta =\frac{15}{17}\cdot\frac{4}{5}-\left(-\frac{8}{17}\right)\cdot\frac{3}{5} =\frac{84}{85};$$

$$\cos(a+\beta)=\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta =\left(-\frac{8}{17}\right)\cdot\frac{4}{5}-\frac{15}{17}\cdot\frac{3}{5} =-\frac{77}{85};$$

$$\cos(a-\beta)=\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta =\left(-\frac{8}{17}\right)\cdot\frac{4}{5}+\frac{15}{17}\cdot\frac{3}{5} =\frac{13}{85};$$

$$\sin(a+\beta)=\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta =\frac{15}{17}\cdot\frac{4}{5}+\left(-\frac{8}{17}\right)\cdot\frac{3}{5} =\frac{36}{85};$$

$$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a\cdot \tg \beta} =\frac{-\frac{15}{8}+\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{15}{8}\right)\cdot\frac{3}{4}} =-\frac{36}{77};$$

$$\tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a\cdot \tg \beta} =\frac{-\frac{15}{8}-\frac{3}{4}}{1+\left(-\frac{15}{8}\right)\cdot\frac{3}{4}} =-\frac{84}{13}.$$

Ответ

$$\left(\frac{1}{f(x)}\right)’=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}; \quad \left(\frac{1}{x^2}\right)’=-\frac{2}{x^3}; \quad \left(\frac{1}{x^3}\right)’=-\frac{3}{x^4}; \quad \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)’=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$$

$$\sin(a-\beta)=\frac{84}{85},\quad \cos(a+\beta)=-\frac{77}{85},\quad \cos(a-\beta)=\frac{13}{85},$$
$$\sin(a+\beta)=\frac{36}{85},\quad \tg(a+\beta)=-\frac{36}{77},\quad \tg(a-\beta)=-\frac{84}{13}.$$