Упр.8.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Используя формулу $$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$, вычислите приближённое значение: а) $$\frac{1}{0{,}98}$$; в) $$1{,}02^3$$; д) $$\sqrt{2{,}04}$$; б) $$\frac{1}{2{,}008}$$; г) $$4{,}92^2$$; е) $$\sqrt{6{,}5}$$.

Используем формулу линейного приближения:

$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

1. $$f(x)=\frac{1}{x}, \quad f'(x)=-\frac{1}{x^2}.$$

   Берём $$x_0=1$$:

   $$f(1)=1,\quad f'(1)=-1.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{0{,}98}\approx 1-1\cdot(0{,}98-1)=1+0{,}02=1{,}02.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{x}, \quad f'(x)=-\frac{1}{x^2}.$$

   Берём $$x_0=2$$:

   $$f(2)=0{,}5,\quad f'(2)=-0{,}25.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{2{,}008}\approx 0{,}5-0{,}25(2{,}008-2)=0{,}5-0{,}25\cdot 0{,}008=0{,}498.$$

3. $$f(x)=x^3, \quad f'(x)=3x^2.$$

   Берём $$x_0=1$$:

   $$f(1)=1,\quad f'(1)=3.$$

   Тогда

   $$1{,}02^3\approx 1+3(1{,}02-1)=1+3\cdot 0{,}02=1{,}06.$$

4. $$f(x)=x^2, \quad f'(x)=2x.$$

   Берём $$x_0=5$$:

   $$f(5)=25,\quad f'(5)=10.$$

   Тогда

   $$4{,}92^2\approx 25+10(4{,}92-5)=25-10\cdot 0{,}08=24{,}2.$$

5. $$f(x)=\sqrt{x}, \quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   Берём $$x_0=1{,}96$$, так как $$\sqrt{1{,}96}=1{,}4$$:

   $$f(1{,}96)=1{,}4,\quad f'(1{,}96)=\frac{1}{2\cdot 1{,}4}=\frac{5}{14}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{2{,}04}\approx 1{,}4+\frac{5}{14}(2{,}04-1{,}96)=1{,}4+\frac{5}{14}\cdot 0{,}08=1{,}428.$$

6. $$f(x)=\sqrt{x}, \quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   Берём $$x_0=6{,}25$$, так как $$\sqrt{6{,}25}=2{,}5$$:

   $$f(6{,}25)=2{,}5,\quad f'(6{,}25)=\frac{1}{2\cdot 2{,}5}=0{,}2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{6{,}5}\approx 2{,}5+0{,}2(6{,}5-6{,}25)=2{,}5+0{,}2\cdot 0{,}25=2{,}55.$$

Ответ

а) $$1{,}02$$; б) $$0{,}498$$; в) $$1{,}06$$; г) $$24{,}2$$; д) $$1{,}428$$; е) $$2{,}55$$.