Упр.8.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Используя формулу $$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$, найдите приближённое значение функции: а) $$y=x^3$$ при $$x=1{,}001$$; г) $$y=x^2$$ при $$x=0{,}998$$; б) $$y=\frac{1}{x}$$ при $$x=9{,}95$$; д) $$y=\frac{1}{x}$$ при $$x=1{,}009$$; в) $$y=\sqrt{x}$$ при $$x=0{,}96$$; е) $$y=\sqrt{x}$$ при $$x=9{,}3$$.

Используем формулу линейного приближения:

$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

1. а) $$y=x^3,\quad x=1{,}001.$$

   Возьмём $$x_0=1.$$ Тогда

   $$f(1)=1^3=1,\qquad f'(x)=3x^2,\qquad f'(1)=3.$$

   $$f(1{,}001)\approx 1+3(1{,}001-1)=1+3\cdot 0{,}001=1{,}003.$$

2. б) $$y=\frac{1}{x},\quad x=9{,}95.$$

   Возьмём $$x_0=10.$$ Тогда

   $$f(10)=\frac{1}{10}=0{,}1,\qquad f'(x)=-\frac{1}{x^2},\qquad f'(10)=-\frac{1}{100}=-0{,}01.$$

   $$f(9{,}95)\approx 0{,}1-0{,}01(9{,}95-10)=0{,}1-0{,}01\cdot(-0{,}05)=0{,}1005.$$

3. в) $$y=\sqrt{x},\quad x=0{,}96.$$

   Возьмём $$x_0=1.$$ Тогда

   $$f(1)=1,\qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad f'(1)=\frac{1}{2}.$$

   $$f(0{,}96)\approx 1+\frac{1}{2}(0{,}96-1)=1-\frac{1}{2}\cdot 0{,}04=0{,}98.$$

4. г) $$y=x^2,\quad x=0{,}998.$$

   Возьмём $$x_0=1.$$ Тогда

   $$f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.$$

   $$f(0{,}998)\approx 1+2(0{,}998-1)=1-2\cdot 0{,}002=0{,}996.$$

5. д) $$y=\frac{1}{x},\quad x=1{,}009.$$

   Возьмём $$x_0=1.$$ Тогда

   $$f(1)=1,\qquad f'(x)=-\frac{1}{x^2},\qquad f'(1)=-1.$$

   $$f(1{,}009)\approx 1-(1{,}009-1)=1-0{,}009=0{,}991.$$

6. е) $$y=\sqrt{x},\quad x=9{,}3.$$

   Возьмём $$x_0=9.$$ Тогда

   $$f(9)=3,\qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad f'(9)=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}.$$

   $$f(9{,}3)\approx 3+\frac{1}{6}(9{,}3-9)=3+\frac{1}{6}\cdot 0{,}3=3{,}05.$$

Ответ

а) $$1{,}003$$; б) $$0{,}1005$$; в) $$0{,}98$$; г) $$0{,}996$$; д) $$0{,}991$$; е) $$3{,}05$$.