Дополнительная задача 8 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) укажите вероятности «успеха» и «неудачи»;
б) вычислите вероятность события «G=3»;
в) вычислите вероятность события «G=4»;
г) составьте таблицу распределения;
д) проверьте, что сумма вероятностей во второй строке таблицы действительно равна 1;
е) найдите наименьшее значение А, при котором вероятность события «G=k» меньше 0,05.

Обозначим вероятность попадания в мишень через $$q=0{,}9,$$ тогда вероятность промаха

$$p=1-q=1-0{,}9=0{,}1.$$

Случайная величина $$G$$ — число выстрелов до первого промаха. Тогда

а) вероятность «успеха» и «неудачи»:

$$q=0{,}9,\qquad p=0{,}1.$$

б) Событие $$G=3$$ означает: два попадания и затем промах. Поэтому

$$P(G=3)=q^2p=0{,}9^2\cdot 0{,}1=0{,}81\cdot 0{,}1=0{,}081.$$

в) Событие $$G=4$$ означает: три попадания и затем промах. Тогда

$$P(G=4)=q^3p=0{,}9^3\cdot 0{,}1=0{,}729\cdot 0{,}1=0{,}0729.$$

г) Таблица распределения:

д) Проверим сумму вероятностей:

$$ S=0{,}1+0{,}09+0{,}081+\dots+0{,}9^{k-1}\cdot 0{,}1+\dots $$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=0{,}1$$ и знаменателем $$q=0{,}9.$$ Тогда

$$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}1}{1-0{,}9}=\frac{0{,}1}{0{,}1}=1. $$

е) Найдём наименьшее $$k,$$ при котором

$$ P(G=k)=0{,}9^{k-1}\cdot 0{,}1<0{,}05. $$

Тогда

$$ 0{,}9^{k-1}<0{,}5. $$

Так как $$0<0{,}9<1,$$ получаем

$$ k-1>\log_{0{,}9}0{,}5. $$

Вычислим приближённо:

$$ \log_{0{,}9}0{,}5\approx 6{,}57, $$

значит

$$ k>7{,}57. $$

Наименьшее целое значение:

$$ k=8. $$

Ответ

а) $$q=0{,}9,\ p=0{,}1$$; б) $$0{,}081$$; в) $$0{,}0729$$; г) $$P(G=k)=0{,}9^{k-1}\cdot 0{,}1$$; д) сумма равна $$1$$; е) $$k=8$$.