Дополнительная задача 8 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Вероятность попадания в мишень у стрелка считается равной $$0{,}9$$ и неизменной в сериях выстрелов. Для с. в. $$G$$ «выстрелы до первого промаха»: а) укажите вероятности «успеха» и «неудачи»; б) вычислите вероятность события «$$G=3$$»; в) вычислите вероятность события «$$G=4$$»; г) составьте таблицу распределения; д) проверьте, что сумма вероятностей во второй строке таблицы действительно равна $$1$$; е) найдите наименьшее значение $$A$$, при котором вероятность события «$$G=k$$» меньше $$0{,}05$$.
Обозначим вероятность попадания в мишень через $$q=0{,}9,$$ тогда вероятность промаха
$$p=1-q=1-0{,}9=0{,}1.$$
Случайная величина $$G$$ — число выстрелов до первого промаха. Тогда
а) вероятность «успеха» и «неудачи»:
$$q=0{,}9,\qquad p=0{,}1.$$
б) Событие $$G=3$$ означает: два попадания и затем промах. Поэтому
$$P(G=3)=q^2p=0{,}9^2\cdot 0{,}1=0{,}81\cdot 0{,}1=0{,}081.$$
в) Событие $$G=4$$ означает: три попадания и затем промах. Тогда
$$P(G=4)=q^3p=0{,}9^3\cdot 0{,}1=0{,}729\cdot 0{,}1=0{,}0729.$$
г) Таблица распределения:
| $$G$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$\dots$$ | $$k$$ | $$\dots$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $$P$$ | $$0{,}1$$ | $$0{,}09$$ | $$0{,}081$$ | $$\dots$$ | $$0{,}9^{k-1}\cdot 0{,}1$$ | $$\dots$$ |
д) Проверим сумму вероятностей:
$$S=0{,}1+0{,}09+0{,}081+\dots+0{,}9^{k-1}\cdot 0{,}1+\dots$$
Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=0{,}1$$ и знаменателем $$q=0{,}9.$$ Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}1}{1-0{,}9}=\frac{0{,}1}{0{,}1}=1.$$
е) Найдём наименьшее $$k,$$ при котором
$$P(G=k)=0{,}9^{k-1}\cdot 0{,}1<0{,}05.$$
Тогда
$$0{,}9^{k-1}<0{,}5.$$
Так как $$0<0{,}9<1,$$ получаем
$$k-1>\log_{0{,}9}0{,}5.$$
Вычислим приближённо:
$$\log_{0{,}9}0{,}5\approx 6{,}57,$$
значит
$$k>7{,}57.$$
Наименьшее целое значение:
$$k=8.$$
Ответ
а) $$q=0{,}9,\ p=0{,}1$$; б) $$0{,}081$$; в) $$0{,}0729$$; г) $$P(G=k)=0{,}9^{k-1}\cdot 0{,}1$$; д) сумма равна $$1$$; е) $$k=8$$.
