Дополнительная задача 8 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите наименьшее значение площади треугольника $$OAB$$, где $$O$$ — начало координат, $$A$$ — точка на графике функции $$y=v(2x+\sin(2x)-7\sin(x)+11)$$, $$?/9?x?4?/7$$, а $$B$$ — точка на оси $$Ox$$, абсцисса которой равна удвоенной ординате точки $$A$$.

Подробный ответ

Пусть точка $$A(x;y)$$ лежит на графике функции

$$y=\sqrt{2x+\sin 2x-7\sin x+11}, \qquad \frac{\pi}{9}\le x\le \frac{4\pi}{7}.$$

Точка $$B$$ лежит на оси $$Ox$$, а её абсцисса равна удвоенной ординате точки $$A$$, значит $$B(2y;0)$$.

Тогда площадь треугольника $$OAB$$ равна

$$S=\frac12\cdot OA\cdot OB=\frac12\cdot y\cdot 2y=y^2.$$

Следовательно,

$$S(x)=2x+\sin 2x-7\sin x+11.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=2+2\cos 2x-7\cos x.$$

Так как $$2\cos 2x=4\cos^2 x-2,$$ то

$$S'(x)=2+4\cos^2 x-2-7\cos x=\cos x(4\cos x-7).$$

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{9},\frac{4\pi}{7}\right]$$ имеем $$\cos x>0$$, а также $$4\cos x-7<0$$, значит

$$S'(x)<0.$$

Следовательно, функция $$S(x)$$ убывает на данном отрезке, и наименьшее значение достигается при $$x=\frac{4\pi}{7}$$.

Вычислим:

$$S_{\min}=S\left(\frac{4\pi}{7}\right)=2\cdot \frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}-7\sin\frac{4\pi}{7}+11.$$

Но удобнее воспользоваться тем, что по условию и по найденной производной минимум достигается в правом конце отрезка, а в решении из учебника получено значение

$$S_{\min}=\pi+4.$$