Дополнительная задача 8 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ((2x+1)^3-8x^3)/x^2; г) x^2/((x+2)^3-x^2(x+1));
б) 24x/((x+4)^3-(x^3+12x^2)); д) (x^5-(x+3)^5)/(x-3)^4;
в) ((x+3)^3-x(x+1)^2)/x^2; е) (x^7+(1-x)^7)/(x+1)^6.

1. а)

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{(2x+1)^3-8x^3}{x^2}$$
   $$=(2x+1)^3=8x^3+12x^2+\dots$$
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{8x^3+12x^2+\dots-8x^3}{x^2} =\lim_{x\to\infty}\left(12+\frac{\dots}{x^2}\right)=12.$$

2. б)

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{24x}{(x+4)^3-(x^3+12x^2)}$$
   $$=(x+4)^3=x^3+12x^2+48x+64$$
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{24x}{(x^3+12x^2+48x+64)-(x^3+12x^2)} =\lim_{x\to\infty}\frac{24x}{48x+64}$$
   $$=\lim_{x\to\infty}\frac{24}{48+\frac{64}{x}}=\frac{24}{48}=\frac12.$$

3. в)

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{(x+3)^3-x(x+1)^2}{x^2}$$
   $$=(x+3)^3=x^3+9x^2+\dots,\qquad x(x+1)^2=x^3+2x^2+x$$
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{(x^3+9x^2+\dots)-(x^3+2x^2+x)}{x^2} =\lim_{x\to\infty}\left(7+\frac{\dots}{x^2}\right)=7.$$

4. г)

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{(x+2)^3-x^2(x+1)}$$
   $$=(x+2)^3=x^3+6x^2+\dots,\qquad x^2(x+1)=x^3+x^2$$
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{(x^3+6x^2+\dots)-(x^3+x^2)} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{5x^2+\dots}$$
   $$=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{5+\frac{\dots}{x^2}}=\frac15.$$

5. д)

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^5-(x+3)^5}{(x-3)^4}$$
   $$ (x+3)^5=x^5+15x^4+\dots,\qquad (x-3)^4=x^4+\dots$$
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^5-(x^5+15x^4+\dots)}{x^4+\dots} =\lim_{x\to\infty}\frac{-15x^4+\dots}{x^4+\dots}=-15.$$

6. е)

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^7+(1-x)^7}{(x+1)^6}$$
   $$ (1-x)^7=-(x-1)^7=-x^7+7x^6+\dots,\qquad (x+1)^6=x^6+\dots$$
   $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^7+(-x^7+7x^6+\dots)}{x^6+\dots} =\lim_{x\to\infty}\frac{7x^6+\dots}{x^6+\dots}=7.$$

Ответ

а) $$12$$; б) $$\frac12$$; в) $$7$$; г) $$\frac15$$; д) $$-15$$; е) $$7$$.