Упр.8.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) При каких значениях параметра p уравнение cos(2x) / (1 + sin(x)) = 0 на отрезке [0; p] имеет четыре корня?

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\sin 2x}{1-\cos x}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\sin 2x=0,\qquad 1-\cos x\ne 0.$$

Из $$\sin 2x=0$$ получаем

$$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2}.$$

Условие $$1-\cos x\ne 0$$ означает $$\cos x\ne 1,$$ то есть $$x\ne 2\pi k.$$

Следовательно, корнями являются точки

$$x=\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2},\ldots$$

Чтобы на отрезке $$[0;p]$$ было ровно три корня, нужно, чтобы в него попали точки

$$\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},$$

но не попала следующая точка $$\frac{5\pi}{2}.$$ Значит,

$$\frac{3\pi}{2}\le p<\frac{5\pi}{2}.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\cos 2x}{1+\sin x}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда

$$\cos 2x=0,\qquad 1+\sin x\ne 0.$$

Из $$\cos 2x=0$$ получаем

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Условие $$1+\sin x\ne 0$$ означает $$\sin x\ne -1,$$ то есть $$x\ne -\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$

Подходящие корни на положительной полуоси:

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4},\ldots$$

Чтобы на отрезке $$[0;p]$$ было ровно четыре корня, нужно, чтобы в него попали

$$\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},$$

но не попала следующая точка $$\frac{9\pi}{4}.$$ Поэтому

$$\frac{7\pi}{4}\le p<\frac{9\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{3\pi}{2}\le p<\frac{5\pi}{2}$$

б) $$\frac{7\pi}{4}\le p<\frac{9\pi}{4}$$