Упр.8.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Постройте график функции y = f(x).
б) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.
в) Найдите, при каких значениях параметра p уравнение f(x) = p имеет более двух корней.

Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} x+\pi, & x<-\pi,\\ \sin x, & -\pi\le x<\pi,\\ \sqrt{x-\pi}, & x\ge \pi. \end{cases} $$

а) Построим график по частям:

• при $$x<-\pi$$ — прямая $$y=x+\pi$$;
• при $$-\pi\le x<\pi$$ — график функции $$y=\sin x$$;
• при $$x\ge \pi$$ — график функции $$y=\sqrt{x-\pi}$$.

В точках стыка получаем:

$$ f(-\pi)=\sin(-\pi)=0,\qquad f(\pi)=\sqrt{\pi-\pi}=0. $$

Значит, график проходит через точки $$(-\pi,0)$$ и $$(\pi,0)$$ без разрывов.

б) Найдём промежутки монотонности.

• Функция $$y=x+\pi$$ возрастает при всех $$x<-\pi$$.
• Функция $$y=\sin x$$ на отрезке $$[-\pi,\pi)$$ убывает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$ и $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$, возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$.
• Функция $$y=\sqrt{x-\pi}$$ возрастает при $$x\ge \pi$$.

Итак, функция убывает на

$$ \left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2};\pi\right], $$

а возрастает на

$$ (-\infty;-\pi]\cup\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\cup[\pi;+\infty). $$

в) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух корней тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график функции более чем в двух точках.

На участке $$y=\sin x$$ значения функции лежат в промежутке $$[-1;1]$$, и при $$p\in(-1;1)$$ прямая $$y=p$$ пересекает синусоиду в двух точках. Кроме того, на левом и правом участках графика есть ещё по одному пересечению только при значениях $$p$$, которые не дают дополнительных корней вне этого промежутка. В итоге более двух корней получается именно при

$$ p\in(-1;1). $$

Ответ

а) График состоит из трёх частей: $$y=x+\pi$$ при $$x<-\pi$$, $$y=\sin x$$ при $$-\pi\le x<\pi$$, $$y=\sqrt{x-\pi}$$ при $$x\ge \pi$$.

б) Убывает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$, возрастает на $$(-\infty;-\pi]\cup\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\cup[\pi;+\infty)$$.

в) $$p\in(-1;1)$$.