Упр.8.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases} x+?, & \text{если } x<-?;\\ \sin(x), & \text{если } -?\ ? x\ ?\ ?;\\ v(x-?), & \text{если } x>?. \end{cases}$$
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
б) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.
в) Найдите, при каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух корней.
Рассмотрим функцию
$$f(x)= \begin{cases} x+\pi, & x<-\pi,\\ \sin x, & -\pi\le x<\pi,\\ \sqrt{x-\pi}, & x\ge \pi. \end{cases}$$
а) Построим график по частям:
- при $$x<-\pi$$ — прямая $$y=x+\pi$$;
- при $$-\pi\le x<\pi$$ — график функции $$y=\sin x$$;
- при $$x\ge \pi$$ — график функции $$y=\sqrt{x-\pi}$$.
В точках стыка получаем:
$$f(-\pi)=\sin(-\pi)=0,\qquad f(\pi)=\sqrt{\pi-\pi}=0.$$
Значит, график проходит через точки $$(-\pi,0)$$ и $$(\pi,0)$$ без разрывов.
б) Найдём промежутки монотонности.
- Функция $$y=x+\pi$$ возрастает при всех $$x<-\pi$$.
- Функция $$y=\sin x$$ на отрезке $$[-\pi,\pi)$$ убывает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$ и $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$, возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$.
- Функция $$y=\sqrt{x-\pi}$$ возрастает при $$x\ge \pi$$.
Итак, функция убывает на
$$\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2};\pi\right],$$
а возрастает на
$$(-\infty;-\pi]\cup\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\cup[\pi;+\infty).$$
в) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух корней тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график функции более чем в двух точках.
На участке $$y=\sin x$$ значения функции лежат в промежутке $$[-1;1]$$, и при $$p\in(-1;1)$$ прямая $$y=p$$ пересекает синусоиду в двух точках. Кроме того, на левом и правом участках графика есть ещё по одному пересечению только при значениях $$p$$, которые не дают дополнительных корней вне этого промежутка. В итоге более двух корней получается именно при
$$p\in(-1;1).$$
Ответ
а) График состоит из трёх частей: $$y=x+\pi$$ при $$x<-\pi$$, $$y=\sin x$$ при $$-\pi\le x<\pi$$, $$y=\sqrt{x-\pi}$$ при $$x\ge \pi$$.
б) Убывает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$, возрастает на $$(-\infty;-\pi]\cup\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\cup[\pi;+\infty)$$.
в) $$p\in(-1;1)$$.
