Упр.8.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 2sin(2x) + 3tg(x) = 5; б) v(1 — sin(4x)) = v6cos(2x).

а) $$2\sin 2x+3\tg x=5.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и выражаем через $$\tg x$$:

$$2\cdot \frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}+3\tg x-5=0.$$

Положим $$y=\tg x$$. Тогда получаем:

$$\frac{4y}{1+y^2}+3y-5=0,$$
$$4y+(3y-5)(1+y^2)=0,$$
$$3y^3-5y^2+7y-5=0.$$

Проверим корень $$y=1$$:

$$3-5+7-5=0.$$

Тогда

$$3y^3-5y^2+7y-5=(y-1)(3y^2-2y+5).$$

Для квадратного множителя дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 5=4-60<0.$$

Значит, действительный корень только один:

$$y=1,\quad \tg x=1.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$\sqrt{1-\sin 4x}=\sqrt{6}\cos 2x.$$

Преобразуем левую часть:

$$1-\sin 4x=1-2\sin 2x\cos 2x.$$

Используем тождество

$$1-2\sin 2x\cos 2x=(\sin 2x-\cos 2x)^2,$$

тогда

$$\sqrt{(\sin 2x-\cos 2x)^2}=\sqrt{6}\cos 2x,$$
$$|\sin 2x-\cos 2x|=\sqrt{6}\cos 2x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то обязательно $$\cos 2x\ge 0$$. Возведём в квадрат:

$$\sin^2 2x-2\sin 2x\cos 2x+\cos^2 2x=6\cos^2 2x,$$
$$1-2\sin 2x\cos 2x=6\cos^2 2x.$$

Удобнее перейти к тангенсу. При $$\cos 2x>0$$ делим на $$\cos 2x$$:

$$|\tg 2x-1|=\sqrt{6}.$$

Следовательно,

$$\tg 2x=1\pm \sqrt{6}.$$

Тогда

$$2x=\arctg(1\pm \sqrt{6})+\pi n,$$
$$x=\frac12\arctg(1\pm \sqrt{6})+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$

б) $$x=\frac12\arctg(1\pm \sqrt{6})+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}.$$