Упр.8.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=sin^2(x)+2cos(2x); б) y=2cos^2(x/4)+cos(x/2). Решите уравнение:
а) cos(2x)=1-3sin(2x); б) 2sin(4x)+cos(4x)=-1.

а) Преобразуем функцию:

$$ y=\sin^2 x+2\cos 2x $$

Так как $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$ получаем

$$ y=\frac{1-\cos 2x}{2}+2\cos 2x=\frac12+\frac32\cos 2x. $$

Это график косинуса с амплитудой $$\frac32$$, периодом $$\pi$$ и вертикальным сдвигом вверх на $$\frac12$$.

б) Преобразуем функцию:

$$ y=2\cos^2\frac{x}{4}+\cos\frac{x}{2} $$

Используем формулу $$2\cos^2\frac{x}{4}=1+\cos\frac{x}{2}$$:

$$ y=1+\cos\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=1+2\cos\frac{x}{2}. $$

Это график косинуса с амплитудой $$2$$, периодом $$4\pi$$ и сдвигом вверх на $$1$$.

а) Решим уравнение:

$$ \cos 2x=1-3\sin 2x $$

Преобразуем левую часть:

$$ 1-2\sin^2 x=1-6\sin x\cos x $$

$$ 2\sin^2 x-6\sin x\cos x=0 $$

$$ 2\sin x(\sin x-3\cos x)=0. $$

Отсюда:

$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-3\cos x=0. $$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x-3\cos x=0 \Rightarrow \tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

б) Решим уравнение:

$$ 2\sin 4x+\cos 4x=-1 $$

Преобразуем:

$$ 4\sin 2x\cos 2x+2\cos^2 2x-1=-1 $$

$$ 2\cos^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=0 $$

$$ 2\cos 2x(\cos 2x+2\sin 2x)=0. $$

Отсюда:

$$ \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x+2\sin 2x=0. $$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$ $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 2x+2\sin 2x=0 \Rightarrow 1+2\tg 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$ 2x=-\arctg\frac12+\pi n $$

$$ x=-\frac12\arctg\frac12+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$y=\frac12+\frac32\cos 2x.$$

б) $$y=1+2\cos\frac{x}{2}.$$

а) $$x=\pi n,\; x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=-\frac12\arctg\frac12+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$