Упр.8.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   а) $$y=\sin^2(x)+2\cos(2x)$$;
   б) $$y=2\cos^2\left(\frac{x}{4}\right)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$.
2. Решите уравнение:
   а) $$\cos(2x)=1-3\sin(2x)$$;
   б) $$2\sin(4x)+\cos(4x)=-1$$.

а) Преобразуем функцию:

$$y=\sin^2 x+2\cos 2x$$

Так как $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$ получаем

$$y=\frac{1-\cos 2x}{2}+2\cos 2x=\frac12+\frac32\cos 2x.$$

Это график косинуса с амплитудой $$\frac32$$, периодом $$\pi$$ и вертикальным сдвигом вверх на $$\frac12$$.

б) Преобразуем функцию:

$$y=2\cos^2\frac{x}{4}+\cos\frac{x}{2}$$

Используем формулу $$2\cos^2\frac{x}{4}=1+\cos\frac{x}{2}$$:

$$y=1+\cos\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=1+2\cos\frac{x}{2}.$$

Это график косинуса с амплитудой $$2$$, периодом $$4\pi$$ и сдвигом вверх на $$1$$.

а) Решим уравнение:

$$\cos 2x=1-3\sin 2x$$

Преобразуем левую часть:

$$1-2\sin^2 x=1-6\sin x\cos x$$

$$2\sin^2 x-6\sin x\cos x=0$$

$$2\sin x(\sin x-3\cos x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-3\cos x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x-3\cos x=0 \Rightarrow \tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

б) Решим уравнение:

$$2\sin 4x+\cos 4x=-1$$

Преобразуем:

$$4\sin 2x\cos 2x+2\cos^2 2x-1=-1$$

$$2\cos^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=0$$

$$2\cos 2x(\cos 2x+2\sin 2x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x+2\sin 2x=0.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$ $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 2x+2\sin 2x=0 \Rightarrow 1+2\tg 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=-\arctg\frac12+\pi n$$

$$x=-\frac12\arctg\frac12+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$y=\frac12+\frac32\cos 2x.$$

б) $$y=1+2\cos\frac{x}{2}.$$

а) $$x=\pi n,\; x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=-\frac12\arctg\frac12+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$