Упр.8.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$\cos(?)=-\frac{8}{17}$$, $$\cos(?)=\frac{4}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}
2. Постройте график функции: а) $$y=\sin^2(x)+2\cos(2x)$$; б) $$y=2\cos^2\left(\frac{x}{4}\right)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$.

Пусть $$\cos \alpha=-\frac{8}{17}, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ $$\cos \beta=\frac{4}{5}, \quad 0<\beta<\frac{\pi}{2}.$$

Найдём синусы и тангенсы:

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17},$$
$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{15/17}{-8/17}=-\frac{15}{8}, \quad \tg \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.$$

Теперь вычислим значения:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
$$=\frac{15}{17}\cdot\frac{4}{5}-\left(-\frac{8}{17}\right)\cdot\frac{3}{5} =\frac{60}{85}+\frac{24}{85}=\frac{84}{85}.$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$$=-\frac{8}{17}\cdot\frac{4}{5}-\frac{15}{17}\cdot\frac{3}{5} =-\frac{32}{85}-\frac{45}{85}=-\frac{77}{85}.$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
$$=-\frac{8}{17}\cdot\frac{4}{5}+\frac{15}{17}\cdot\frac{3}{5} =-\frac{32}{85}+\frac{45}{85}=\frac{13}{85}.$$

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
$$=\frac{15}{17}\cdot\frac{4}{5}+\left(-\frac{8}{17}\right)\cdot\frac{3}{5} =\frac{60}{85}-\frac{24}{85}=\frac{36}{85}.$$

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta} =\frac{-\frac{15}{8}+\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{15}{8}\cdot\frac{3}{4}\right)} =\frac{-\frac{15}{8}+\frac{6}{8}}{1+\frac{45}{32}} =\frac{-\frac{9}{8}}{\frac{77}{32}} =-\frac{36}{77}.$$

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta} =\frac{-\frac{15}{8}-\frac{3}{4}}{1+\left(-\frac{15}{8}\cdot\frac{3}{4}\right)} =\frac{-\frac{15}{8}-\frac{6}{8}}{1-\frac{45}{32}} =\frac{-\frac{21}{8}}{-\frac{13}{32}} =\frac{84}{13}.$$

Построим графики.

а)

$$y=\sin^2 x+2\cos 2x.$$
Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:
$$y=\frac{1-\cos 2x}{2}+2\cos 2x=\frac12+\frac32\cos 2x.$$

Это косинусоида с амплитудой $$\frac32$$, периодом $$\pi$$ и осью колебаний $$y=\frac12$$.

б)

$$y=2\cos^2\frac{x}{4}+\cos\frac{x}{2}.$$
Так как $$2\cos^2\frac{x}{4}=1+\cos\frac{x}{2},$$ получаем:
$$y=1+\cos\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=1+2\cos\frac{x}{2}.$$

Это косинусоида с амплитудой $$2$$, периодом $$4\pi$$ и осью колебаний $$y=1$$.

Ответ

а) $$\sin(\alpha-\beta)=\frac{84}{85};$$
б) $$\cos(\alpha+\beta)=-\frac{77}{85};$$
в) $$\cos(\alpha-\beta)=\frac{13}{85};$$
г) $$\sin(\alpha+\beta)=\frac{36}{85};$$
д) $$\tg(\alpha+\beta)=-\frac{36}{77};$$
е) $$\tg(\alpha-\beta)=\frac{84}{13}.$$

а) $$y=\frac12+\frac32\cos 2x;$$
б) $$y=1+2\cos\frac{x}{2}.$$