Упр.8.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=0,4x, x_0=-1, ?x=0,25;
б) y=x^2, x_0=1, ?x=0,01;
в) y=vx, x_0=4, ?x=0,41;
г) y=-5x+6, x_0=0, ?x=0,15;
д) y=x^3, x_0=2, x=0,1;
е) y=1/x, x_0=3, ?x=0,2.
а) $$y=0{,}4x,\quad x_0=-1,\quad \Delta x=0{,}25$$
$$x_1=x_0+\Delta x=-1+0{,}25=-0{,}75$$
$$\Delta y=y(x_0+\Delta x)-y(x_0)=0{,}4\cdot(-0{,}75)-0{,}4\cdot(-1)= -0{,}3+0{,}4=0{,}1$$
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(-1)=0{,}4$$
б) $$y=x^2,\quad x_0=1,\quad \Delta x=0{,}01$$
$$x_1=1+0{,}01=1{,}01$$
$$\Delta y=(1{,}01)^2-1^2=1{,}0201-1=0{,}0201$$
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(1)=2\cdot 1=2$$
в) $$y=\sqrt{x},\quad x_0=4,\quad \Delta x=0{,}41$$
$$x_1=4+0{,}41=4{,}41$$
$$\Delta y=\sqrt{4{,}41}-\sqrt{4}=2{,}1-2=0{,}1$$
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac14$$
г) $$y=-5x+6,\quad x_0=0,\quad \Delta x=0{,}15$$
$$x_1=0+0{,}15=0{,}15$$
$$\Delta y=y(0{,}15)-y(0)=-5\cdot 0{,}15+6-6=-0{,}75$$
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(0)=-5$$
д) $$y=x^3,\quad x_0=2,\quad \Delta x=0{,}1$$
$$x_1=2+0{,}1=2{,}1$$
$$\Delta y=(2{,}1)^3-2^3=9{,}261-8=1{,}261$$
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(2)=3\cdot 2^2=12$$
е) $$y=\frac{1}{x},\quad x_0=3,\quad \Delta x=0{,}2$$
$$x_1=3+0{,}2=3{,}2$$
$$\Delta y=\frac{1}{3{,}2}-\frac{1}{3}=\frac{5}{16}-\frac13=\frac{15-16}{48}=-\frac{1}{48}$$
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(3)=-\frac{1}{3^2}=-\frac19$$
Ответ
а) $$\Delta y=0{,}1,\ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0{,}4$$; б) $$\Delta y=0{,}0201,\ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2$$; в) $$\Delta y=0{,}1,\ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac14$$; г) $$\Delta y=-0{,}75,\ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-5$$; д) $$\Delta y=1{,}261,\ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=12$$; е) $$\Delta y=-\frac{1}{48},\ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac19$$.
