Упр.7.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите угол наклона касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$: а) $$y=x^3$$, $$x_0=\frac{1}{\sqrt{3}}$$; г) $$y=x^2$$, $$x_0=-0{,}5$$; б) $$y=\sqrt{x}$$, $$x_0=\frac{1}{12}$$; д) $$y=\sqrt{x}$$, $$x_0=0{,}75$$; в) $$y=\frac{1}{x}$$, $$x_0=\sqrt{2}$$; е) $$y=\frac{1}{x}$$, $$x_0=-\sqrt{3}$$.

1. Угол наклона касательной находим по формуле $$\tan \alpha = f'(x_0).$$

   а) $$y=x^3,\quad x_0=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   $$f'(x)=(x^3)’=3x^2,$$
   $$f’\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=3\cdot \frac{1}{3}=1.$$
   Тогда $$\tan \alpha=1,$$ значит $$\alpha=45^\circ.$$

2. б) $$y=\sqrt{x},\quad x_0=\frac{1}{12}.$$

   $$f'(x)=(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}},$$
   $$f’\!\left(\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{2\sqrt{1/12}}=\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}}=\sqrt{3}.$$
   Тогда $$\tan \alpha=\sqrt{3},$$ значит $$\alpha=60^\circ.$$

3. в) $$y=\frac{1}{x},\quad x_0=\sqrt{2}.$$

   $$f'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2},$$
   $$f'(\sqrt{2})=-\frac{1}{2}.$$
   Тогда $$\tan \alpha=-\frac{1}{2}.$$
   Следовательно,
   $$\alpha=\pi-\arctg \frac{1}{2}.$$

4. г) $$y=x^2,\quad x_0=-0{,}5.$$

   $$f'(x)=(x^2)’=2x,$$
   $$f'(-0{,}5)=2\cdot(-0{,}5)=-1.$$
   Тогда $$\tan \alpha=-1,$$ значит $$\alpha=135^\circ.$$

5. д) $$y=\sqrt{x},\quad x_0=0{,}75.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},$$
   $$f'(0{,}75)=\frac{1}{2\sqrt{3/4}}=\frac{1}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
   Тогда $$\tan \alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},$$ значит $$\alpha=30^\circ.$$

6. е) $$y=\frac{1}{x},\quad x_0=-\sqrt{3}.$$

   $$f'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2},$$
   $$f'(-\sqrt{3})=-\frac{1}{3}.$$
   Тогда $$\tan \alpha=-\frac{1}{3}.$$
   Следовательно,
   $$\alpha=\pi-\arctg \frac{1}{3}.$$

Ответ

а) $$45^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$\pi-\arctg \frac{1}{2}$$; г) $$135^\circ$$; д) $$30^\circ$$; е) $$\pi-\arctg \frac{1}{3}$$.