Дополнительная задача 7 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) укажите вероятность «успеха» и вероятность «неудачи»;
б) вычислите вероятность события «G=2»;
в) вычислите вероятность события «G=3»;
г) составьте таблицу распределения;
д) проверьте, что сумма вероятностей во второй строке таблицы действительно равна 1;
е) найдите наименьшее значение k, при котором вероятность события «G=k» меньше 0,01.

В наборе домино 28 костей, из них дублей 7. Поэтому вероятность «успеха» — вытянуть дубль:

$$p=\frac{7}{28}=0{,}25,$$

а вероятность «неудачи» — вытянуть не дубль:

$$q=1-p=0{,}75.$$

Случайная величина $$G$$ — номер первого появления дубля. Тогда

$$P(G=k)=q^{k-1}p=0{,}75^{\,k-1}\cdot 0{,}25.$$

б) Для $$G=2$$ нужно, чтобы сначала выпал не дубль, а затем дубль:

$$P(G=2)=qp=0{,}75\cdot 0{,}25=0{,}1875.$$

в) Для $$G=3$$ первые две попытки должны быть неудачными, а третья — успешной:

$$P(G=3)=q^2p=0{,}75^2\cdot 0{,}25=0{,}5625\cdot 0{,}25=0{,}140625\approx 0{,}141.$$

г) Таблица распределения:

д) Проверим сумму вероятностей:

$$S=0{,}25+0{,}75\cdot 0{,}25+0{,}75^2\cdot 0{,}25+\cdots$$

Это сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=0{,}25$$ и знаменателем $$q=0{,}75$$:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}25}{1-0{,}75}=\frac{0{,}25}{0{,}25}=1.$$

е) Найдём наименьшее $$k$$, при котором

$$P(G=k)=0{,}75^{\,k-1}\cdot 0{,}25<0{,}01.$$

Тогда

$$0{,}75^{\,k-1}<0{,}04.$$

Логарифмируя, получаем:

$$k-1>\log_{0{,}75}0{,}04,$$

откуда

$$k>\log_{0{,}75}0{,}04+1\approx 12{,}2.$$

Наименьшее целое значение:

$$k=13.$$

Ответ

а) $$p=0{,}25,\ q=0{,}75$$; б) $$0{,}1875$$; в) $$0{,}140625\approx 0{,}141$$; г) $$P(G=k)=0{,}75^{\,k-1}\cdot 0{,}25$$; д) сумма равна $$1$$; е) $$k=13$$.