Дополнительная задача 7 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение:

При вращении трапеции вокруг оси абсцисс получаются:

• из отрезка $$OA$$ — круг радиуса $$r$$, поэтому $$S_{OA}=\pi r^2$$;
• из отрезка $$BC$$ — круг радиуса $$R$$, поэтому $$S_{BC}=\pi R^2$$.

Найдём уравнение прямой $$AB$$. Так как $$A(0;r)$$ и $$B(H;R)$$, то

$$ y=kx+b. $$

Подставим координаты точек:

$$ \begin{cases} r=b,\\ R=kH+r. \end{cases} $$

Отсюда

$$ k=\frac{R-r}{H}, $$

значит,

$$ y=\frac{R-r}{H}x+r. $$

По теореме о теле вращения объём равен

$$ V=\pi\int_0^H \left(\frac{R-r}{H}x+r\right)^2dx. $$

Вычислим интеграл:

$$ V=\pi\int_0^H \left(\frac{R-r}{H}x+r\right)^2dx =\pi\cdot \frac{H}{R-r}\cdot \frac{1}{3}\left(\frac{R-r}{H}x+r\right)^3\Bigg|_0^H. $$

Тогда

$$ V=\frac{\pi H}{3(R-r)}\left((R)^3-r^3\right). $$

Используем формулу разности кубов:

$$ R^3-r^3=(R-r)(R^2+Rr+r^2). $$

Сокращая на $$R-r$$, получаем

$$ V=\frac{1}{3}\pi H(R^2+Rr+r^2). $$

Это и есть объём усечённого конуса.

Ответ

$$ V=\frac{1}{3}\pi H(R^2+Rr+r^2) $$