Дополнительная задача 7 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Из набора домино берут одну доминошку. Если это не «дубль», то её возвращают обратно и снова берут одну доминошку. Если это «дубль», то повторения прекращают. Для с. в. $$G$$ «выбор до первого появления дубля»:
а) укажите вероятность «успеха» и вероятность «неудачи»;
б) вычислите вероятность события $$G=2$$;
в) вычислите вероятность события $$G=3$$;
г) составьте таблицу распределения;
д) проверьте, что сумма вероятностей во второй строке таблицы действительно равна 1;
е) найдите наименьшее значение $$k$$, при котором вероятность события $$G=k$$ меньше 0,01.
В наборе домино 28 костей, из них дублей 7. Поэтому вероятность «успеха» — вытянуть дубль:
$$p=\frac{7}{28}=0{,}25,$$
а вероятность «неудачи» — вытянуть не дубль:
$$q=1-p=0{,}75.$$
Случайная величина $$G$$ — номер первого появления дубля. Тогда
$$P(G=k)=q^{k-1}p=0{,}75^{\,k-1}\cdot 0{,}25.$$
б) Для $$G=2$$ нужно, чтобы сначала выпал не дубль, а затем дубль:
$$P(G=2)=qp=0{,}75\cdot 0{,}25=0{,}1875.$$
в) Для $$G=3$$ первые две попытки должны быть неудачными, а третья — успешной:
$$P(G=3)=q^2p=0{,}75^2\cdot 0{,}25=0{,}5625\cdot 0{,}25=0{,}140625\approx 0{,}141.$$
г) Таблица распределения:
| $$G$$ | 1 | 2 | 3 | … | $$k$$ | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $$P(G)$$ | 0,25 | 0,1875 | 0,140625 | … | $$0{,}75^{\,k-1}\cdot 0{,}25$$ | … |
д) Проверим сумму вероятностей:
$$S=0{,}25+0{,}75\cdot 0{,}25+0{,}75^2\cdot 0{,}25+\cdots$$
Это сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=0{,}25$$ и знаменателем $$q=0{,}75$$:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}25}{1-0{,}75}=\frac{0{,}25}{0{,}25}=1.$$
е) Найдём наименьшее $$k$$, при котором
$$P(G=k)=0{,}75^{\,k-1}\cdot 0{,}25<0{,}01.$$
Тогда
$$0{,}75^{\,k-1}<0{,}04.$$
Логарифмируя, получаем:
$$k-1>\log_{0{,}75}0{,}04,$$
откуда
$$k>\log_{0{,}75}0{,}04+1\approx 12{,}2.$$
Наименьшее целое значение:
$$k=13.$$
Ответ
а) $$p=0{,}25,\ q=0{,}75$$; б) $$0{,}1875$$; в) $$0{,}140625\approx 0{,}141$$; г) $$P(G=k)=0{,}75^{\,k-1}\cdot 0{,}25$$; д) сумма равна $$1$$; е) $$k=13$$.
