Упр.7.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (x^2 — 2x — 4)(x — 2)^2 ? 0; в) (x^2 + 4x — 3)(x — 5)^2 ? 0;
б) (x^2 — 8x + 11) / (x — 5)^2 ? 0; г) (x — 4)^2 / (x^2 — 6x + 7) ? 0. Решите уравнение:
а) log_2v(3x+13)+log_4(5x-1)=log_3^(1/3)(3);
б) ln^2(x)+ln(ex)=ln(e^3).

1. а) $$\left(x^2-2x-4\right)(x-2)^2\ge 0.$$

   Так как $$\left(x-2\right)^2\ge 0$$ при любом $$x$$, то знак произведения определяется множителем $$x^2-2x-4$$, а также точкой $$x=2$$.

   Решим неравенство:

   $$ x^2-2x-4\ge 0 $$
   $$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt5 $$

   Тогда

   $$ x\in(-\infty;1-\sqrt5]\cup[1+\sqrt5;+\infty) $$

   и отдельно $$x=2$$, так как при этом произведение равно нулю.

2. б) $$\frac{x^2-8x+11}{(x-5)^2}\le 0.$$

   При $$x\ne 5$$ знаменатель положителен, значит нужно решить

   $$ x^2-8x+11\le 0 $$
   $$ D=64-44=20 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{20}}{2}=4\pm\sqrt5 $$

   С учётом условия $$x\ne 5$$ получаем:

   $$ x\in[4-\sqrt5;5)\cup(5;4+\sqrt5] $$

3. в) $$\left(x^2+4x-3\right)(x-5)^2\le 0.$$

   Так как $$\left(x-5\right)^2\ge 0$$, то нужно, чтобы

   $$ x^2+4x-3\le 0 $$
   $$ D=16+12=28 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{28}}{2}=-2\pm\sqrt7 $$

   Следовательно,

   $$ x\in[-2-\sqrt7;-2+\sqrt7] $$

   и также $$x=5$$.

4. г) $$\frac{(x-4)^2}{x^2-6x+7}\ge 0.$$

   Числитель неотрицателен при любом $$x$$. Нужно, чтобы знаменатель был положителен, а также отдельно учесть нули числителя.

   $$ x^2-6x+7>0 $$
   $$ D=36-28=8 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt8}{2}=3\pm\sqrt2 $$

   Тогда

   $$ x\in(-\infty;3-\sqrt2)\cup(3+\sqrt2;+\infty) $$

   Кроме того, при $$x=4$$ дробь равна нулю, и это значение тоже подходит.

5. а) $$\log_2\sqrt{3x+13}+\log_4(5x-1)=\log_{\sqrt3}3.$$

   Преобразуем логарифмы:

   $$ \log_4(5x-1)=\frac12\log_2(5x-1),\qquad \log_{\sqrt3}3=2 $$

   Тогда

   $$ \log_2\sqrt{3x+13}+\frac12\log_2(5x-1)=2 $$
   $$ \frac12\log_2(3x+13)+\frac12\log_2(5x-1)=2 $$
   $$ \log_2\bigl((3x+13)(5x-1)\bigr)=4 $$
   $$ (3x+13)(5x-1)=16 $$
   $$ 15x^2+62x-13=16 $$
   $$ 15x^2+62x-29=0 $$

   Решим квадратное уравнение:

   $$ D=62^2-4\cdot 15\cdot(-29)=3844+1740=5584 $$
   $$ x=\frac{-62\pm\sqrt{5584}}{30} $$

   Проверяем область определения:

   $$ 3x+13>0,\qquad 5x-1>0 $$
   $$ x>-\frac{13}{3},\qquad x>\frac15 $$

   Из найденных корней условию удовлетворяет только один.

6. б) $$\ln^2x+\ln(ex)=\ln(e^3).$$

   Так как $$\ln(ex)=\ln e+\ln x=1+\ln x$$ и $$\ln(e^3)=3,$$ получаем:

   $$ \ln^2x+1+\ln x=3 $$
   $$ \ln^2x+\ln x-2=0 $$

   Обозначим $$t=\ln x$$. Тогда

   $$ t^2+t-2=0 $$
   $$ (t+2)(t-1)=0 $$
   $$ t=-2 \text{ или } t=1 $$

   Следовательно,

   $$ \ln x=-2 \Rightarrow x=e^{-2} $$
   $$ \ln x=1 \Rightarrow x=e $$

Ответ

а) $$(-\infty;1-\sqrt5]\cup\{2\}\cup[1+\sqrt5;+\infty)$$;
б) $$[4-\sqrt5;5)\cup(5;4+\sqrt5]$$;
в) $$[-2-\sqrt7;-2+\sqrt7]\cup\{5\}$$;
г) $$(-\infty;3-\sqrt2)\cup\{4\}\cup(3+\sqrt2;+\infty)$$;
а) $$x=\frac{-62\pm\sqrt{5584}}{30}$$, при этом с учётом ОДЗ подходит только один корень;
б) $$e^{-2},\ e$$.