Упр.7.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Решите неравенство: а) $$\left(x^2-2x-4\right)(x-2)^2\mathrel{?}0$$; в) $$\left(x^2+4x-3\right)(x-5)^2\mathrel{?}0$$; б) $$\frac{x^2-8x+11}{(x-5)^2}\mathrel{?}0$$; г) $$\frac{(x-4)^2}{x^2-6x+7}\mathrel{?}0$$.
2. Задание учебника 2022 года. Решите уравнение: а) $$\log_{2v}(3x+13)+\log_4(5x-1)=\log_3^{\frac{1}{3}}(3)$$; б) $$\ln^2(x)+\ln(ex)=\ln(e^3)$$.

1. а) $$\left(x^2-2x-4\right)(x-2)^2\ge 0.$$

   Так как $$\left(x-2\right)^2\ge 0$$ при любом $$x$$, то знак произведения определяется множителем $$x^2-2x-4$$, а также точкой $$x=2$$.

   Решим неравенство:

   $$x^2-2x-4\ge 0$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt5$$

   Тогда

   $$x\in(-\infty;1-\sqrt5]\cup[1+\sqrt5;+\infty)$$

   и отдельно $$x=2$$, так как при этом произведение равно нулю.

2. б) $$\frac{x^2-8x+11}{(x-5)^2}\le 0.$$

   При $$x\ne 5$$ знаменатель положителен, значит нужно решить

   $$x^2-8x+11\le 0$$
   $$D=64-44=20$$
   $$x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{20}}{2}=4\pm\sqrt5$$

   С учётом условия $$x\ne 5$$ получаем:

   $$x\in[4-\sqrt5;5)\cup(5;4+\sqrt5]$$

3. в) $$\left(x^2+4x-3\right)(x-5)^2\le 0.$$

   Так как $$\left(x-5\right)^2\ge 0$$, то нужно, чтобы

   $$x^2+4x-3\le 0$$
   $$D=16+12=28$$
   $$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{28}}{2}=-2\pm\sqrt7$$

   Следовательно,

   $$x\in[-2-\sqrt7;-2+\sqrt7]$$

   и также $$x=5$$.

4. г) $$\frac{(x-4)^2}{x^2-6x+7}\ge 0.$$

   Числитель неотрицателен при любом $$x$$. Нужно, чтобы знаменатель был положителен, а также отдельно учесть нули числителя.

   $$x^2-6x+7>0$$
   $$D=36-28=8$$
   $$x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt8}{2}=3\pm\sqrt2$$

   Тогда

   $$x\in(-\infty;3-\sqrt2)\cup(3+\sqrt2;+\infty)$$

   Кроме того, при $$x=4$$ дробь равна нулю, и это значение тоже подходит.

5. а) $$\log_2\sqrt{3x+13}+\log_4(5x-1)=\log_{\sqrt3}3.$$

   Преобразуем логарифмы:

   $$\log_4(5x-1)=\frac12\log_2(5x-1),\qquad \log_{\sqrt3}3=2$$

   Тогда

   $$\log_2\sqrt{3x+13}+\frac12\log_2(5x-1)=2$$
   $$\frac12\log_2(3x+13)+\frac12\log_2(5x-1)=2$$
   $$\log_2\bigl((3x+13)(5x-1)\bigr)=4$$
   $$(3x+13)(5x-1)=16$$
   $$15x^2+62x-13=16$$
   $$15x^2+62x-29=0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=62^2-4\cdot 15\cdot(-29)=3844+1740=5584$$
   $$x=\frac{-62\pm\sqrt{5584}}{30}$$

   Проверяем область определения:

   $$3x+13>0,\qquad 5x-1>0$$
   $$x>-\frac{13}{3},\qquad x>\frac15$$

   Из найденных корней условию удовлетворяет только один.

6. б) $$\ln^2x+\ln(ex)=\ln(e^3).$$

   Так как $$\ln(ex)=\ln e+\ln x=1+\ln x$$ и $$\ln(e^3)=3,$$ получаем:

   $$\ln^2x+1+\ln x=3$$
   $$\ln^2x+\ln x-2=0$$

   Обозначим $$t=\ln x$$. Тогда

   $$t^2+t-2=0$$
   $$(t+2)(t-1)=0$$
   $$t=-2 \text{ или } t=1$$

   Следовательно,

   $$\ln x=-2 \Rightarrow x=e^{-2}$$
   $$\ln x=1 \Rightarrow x=e$$

Ответ

а) $$(-\infty;1-\sqrt5]\cup\{2\}\cup[1+\sqrt5;+\infty)$$;
б) $$[4-\sqrt5;5)\cup(5;4+\sqrt5]$$;
в) $$[-2-\sqrt7;-2+\sqrt7]\cup\{5\}$$;
г) $$(-\infty;3-\sqrt2)\cup\{4\}\cup(3+\sqrt2;+\infty)$$;
а) $$x=\frac{-62\pm\sqrt{5584}}{30}$$, при этом с учётом ОДЗ подходит только один корень;
б) $$e^{-2},\ e$$.