Упр.7.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y = 0,5x — 3 + tg(x) · ctg(x); в) y = 1/3 x + 3 — 2tg(x) · ctg(x);
б) y = vx / (tg(x) · ctg(x)); г) y = v(x + 4) / (tg(x) · ctg(x)). Постройте и прочитайте график функции:
а) y={2^x, если x<3; 8(x-2)^(-1), если x?3};
б) y={x^(-2), если x<0; ln(x), если x>0}.
а) $$y=0{,}5x-3+\tg x\cdot \ctg x.$$
Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ то
$$y=0{,}5x-3+1=0{,}5x-2.$$
Это прямая. Область определения:
$$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z\right\}.$$
Множество значений:
$$E(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi n}{4}-2,\ n\in\mathbb Z\right\}.$$
Функция возрастает на всей области определения.
б) $$y=\frac{\sqrt{x}}{\tg x\cdot \ctg x}.$$
Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ получаем
$$y=\sqrt{x}.$$
Область определения:
$$D(y)=[0;+\infty)\setminus\left\{\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z\right\}.$$
Множество значений:
$$E(y)=[0;+\infty)\setminus\left\{\sqrt{\frac{\pi n}{2}},\ n\in\mathbb Z\right\}.$$
Функция возрастает на всей области определения.
в) $$y=\frac13x+3-2\tg x\cdot \ctg x.$$
Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ то
$$y=\frac13x+3-2=\frac13x+1.$$
Это прямая. Область определения:
$$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z\right\}.$$
Множество значений:
$$E(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi n}{6}+1,\ n\in\mathbb Z\right\}.$$
Функция возрастает на всей области определения.
г) $$y=\frac{\sqrt{x+4}}{\tg x\cdot \ctg x}.$$
Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ получаем
$$y=\sqrt{x+4}.$$
Область определения:
$$D(y)=[-4;+\infty)\setminus\left\{\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z\right\}.$$
Множество значений:
$$E(y)=[0;+\infty)\setminus\left\{\sqrt{\frac{\pi n}{2}+4},\ n\in\mathbb Z\right\}.$$
Функция возрастает на всей области определения.
а) $$y=\begin{cases} 2^x, & x<3,\\ 8(x-2)^{-1}, & x\ge 3. \end{cases}$$
При $$x<3$$ имеем график функции $$y=2^x,$$ а при $$x\ge 3$$ — график функции $$y=\dfrac{8}{x-2}.$$
В точке $$x=3$$ обе части дают одно и то же значение:
$$2^3=8,\qquad \frac{8}{3-2}=8.$$
Значит, графики соединяются в точке $$\left(3;8\right).$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb R.$$
Множество значений: $$E(y)=(0;+\infty).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;3]$$ и убывает на $$[3;+\infty).$$
б) $$y=\begin{cases} x^{-2}, & x<0,\\ \ln x, & x>0. \end{cases}$$
То есть
$$y=\begin{cases} \dfrac{1}{x^2}, & x<0,\\ \ln x, & x>0. \end{cases}$$
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Множество значений:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и на $$ (0;+\infty).$$
Ответ
а) $$y=0{,}5x-2;$$
б) $$y=\sqrt{x};$$
в) $$y=\frac13x+1;$$
г) $$y=\sqrt{x+4};$$
а) $$y=\begin{cases}2^x,& x<3,\\ \dfrac{8}{x-2},& x\ge 3;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}\dfrac{1}{x^2},& x<0,\\ \ln x,& x>0.\end{cases}$$
